《2025年绩优课堂高效提升满分备考九年级数学全一册人教版》

1. 拱形大桥的示意图如图所示，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线$y=-\frac{1}{400}(x - 80)^2 + 16$的一部分，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面上，AC⊥x轴。若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为4.25米。

答案： 1.4.25

2. 如图，有一座抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m。若水面下降2m，则水面宽度增加(4$\sqrt{2}$−4)m。

答案： 2.(4$\sqrt{2}$−4)

3. (2024·陕西)现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系。根据设计要求：OE=10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m。
(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A，B处分别安装照明灯。已知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标。

答案： 3.解:
(1)依题意，顶点P(5,9)，
设抛物线的函数表达式为y=a(x−5)²+9，
将(0,0)代入,得0=a(0−5)²+9.
解之,得a=−$\frac{9}{25}$.
∴抛物线的函数表达式为y=−$\frac{9}{25}$(x−5)²+9.
(2)令y=6,得−$\frac{9}{25}$(x−5)²+9=6.
解之,得x₁=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$+5,x₂=−$\frac{5\sqrt{3}}{3}$+5.
∴A(5−$\frac{5\sqrt{3}}{3}$,6),B(5+$\frac{5\sqrt{3}}{3}$,6).

4. (2024·甘肃)如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线。若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系：h=-5t²+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t=2s。

答案： 4.2

5. 如图所示是跳水运动员10m跳台跳水的运动轨迹，运动员从10m高的跳台A处跳出，运动轨迹成抛物线状(抛物线所在平面与跳台墙面垂直)。若运动员的最高点M离墙1m，离水面$\frac{40}{3}$m，则运动员落地点B离墙的距离OB是(B)

A.2m
B.3m
C.4m
D.5m

答案： 5.B

6. (2023·金华)某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同。如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式为$y=-\frac{1}{6}(x - 5)^2 + 6$。
(1)求雕塑高OA；
(2)求落水点C，D之间的距离；
(3)若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE=10m，EF=1.8m，EF⊥OD。问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明。

答案： 6.解:
(1)当x=0时,y=−$\frac{1}{6}$×(0−5)²+6=$\frac{11}{6}$.
∴点A的坐标为(0，$\frac{11}{6}$).
∴雕塑高OA=$\frac{11}{6}$m.
(2)当y=0时，−$\frac{1}{6}$(x−5)²+6=0,解得x₁=−1(舍去),x₂ =11.
∴点D的坐标为(11,0).
∴OD=11m.
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴OC=OD=11m.
∴CD=OC+OD=22m.
(3)当x=10时,y=−$\frac{1}{6}$×(10−5)²+6=$\frac{11}{6}$.
∴点(10,$\frac{11}{6}$)在抛物线y=−$\frac{1}{6}$(x−5)²+6上.
又
∵$\frac{11}{6}$＞1.8,
∴顶部F不会碰到水柱.