《2025年绩优课堂高效提升满分备考九年级数学全一册人教版》

1. (2024·广西桂林灌阳期末)将一个三角形的各边都缩小到原来的$\frac{1}{2}$后，得到的三角形与原三角形(D)

A.一定不相似
B.不一定相似
C.全等
D.一定相似

答案： 1.D

2. 已知$\triangle ABC$的三边长分别为$6\ cm$，$7.5\ cm$，$9\ cm$，$\triangle DEF$的一边长为$4\ cm$，当$\triangle DEF$的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似(C)

A.$2\ cm$，$3\ cm$
B.$4\ cm$，$5\ cm$
C.$5\ cm$，$6\ cm$
D.$6\ cm$，$7\ cm$

答案： 2.C

3. 如图，在$\triangle ABC$和$\triangle ADE$中，$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$，$\angle BAD = 20^{\circ}$，则$\angle CAE$的度数为20°.

答案： 3.20°

4. 如图，$\triangle ABC$和$\triangle DEF$的顶点都在边长为$1$的小正方形的顶点上. 问$\triangle ABC$和$\triangle DEF$相似吗？为什么？

答案： 4.解：△ABC和△DEF相似.
理由：由题意得AB=2,EF=2,
根据勾股定理得$AC = 2\sqrt{5},BC = 2\sqrt{2},DE = \sqrt{2},DF = \sqrt{10}$,
$\therefore\frac{AB}{DE}=\frac{2}{\sqrt{2}},\frac{AC}{DF}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10}},\frac{BC}{EF}=\frac{2\sqrt{2}}{2},\therefore\frac{AB}{DE}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}},\frac{AC}{DF}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{2}{\sqrt{2}},\frac{BC}{EF}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\frac{2}{\sqrt{2}}$,
$\therefore\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF},\therefore\triangle ABC\sim\triangle DEF$.

5. 如图，已知$\triangle ABC$，则下列三角形中，与$\triangle ABC$相似的是(C)

答案： 5.C

6. 如图，四边形$ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，且将这个四边形分成①②③④四个三角形. 若$OA:OC = OB:OD$，则下列结论中一定正确的是(B)

A.①和②相似
B.①和③相似
C.①和④相似
D.②和④相似

答案： 6.B

7. (2024·江苏无锡新吴期中)如图，在$\triangle ABC$中，$D$是$AC$边上的一点，$AD = 3$，$CD = 1$，要使$\triangle ADB \backsim \triangle ABC$，则$AB$的长为2\sqrt{3}.

答案： $7.2\sqrt{3}$

8. (2025·福建龙岩新罗月考)如图，在边长为$4$的正方形$ABCD$中，$P$是$BC$上的点，且$BP = 3PC$，$Q$是$CD$的中点.
求证：$\triangle ADQ \backsim \triangle QCP$.

答案： 8.证明：$\because$四边形ABCD是正方形,$BP = 3PC,Q$是CD的中点,
$\therefore QC = QD=\frac{1}{2}AD,CP=\frac{1}{4}AD,\therefore\frac{AD}{QC}=\frac{DQ}{CP}$,
又$\because\angle ADQ = \angle QCP = 90^{\circ},\therefore\triangle ADQ\sim\triangle QCP$.

9. (2023·石家庄高邑县期中)如图，小正方形的边长均为$1$，则下列四个选项中的三角形(阴影部分)与$\triangle ABC$相似的是(A)

答案： 9.A