《2025年绩优课堂高效提升满分备考九年级数学全一册人教版》

1. ∵方程$\frac{2}{3}x^2+\frac{4}{3}x - 2 = 0$的根是$x_1=1$，$x_2=-3$，
∴抛物线$y = \frac{2}{3}x^2+\frac{4}{3}x - 2$与x轴的交点坐标是(1,0)和$(-3,0)$。

答案： 1. $x_1=1,x_2=-3$ $(1,0),(-3,0)$

2. 已知二次函数$y = ax^2+bx + c$的图象如图所示，利用图象回答：

(1) 方程$ax^2+bx + c = 0$的解是____。
(2) 方程$ax^2+bx + c = - 3$的解是____。
(3) 方程$ax^2+bx + c = 5$的解是____。
(4) 方程$ax^2+bx + c = - 4$的解是____。
(5) 方程$ax^2+bx + c = - 6$的解的情况怎样？

答案： 2.
(1)$x_1=-1,x_2=3$
(2)$x_1=0,x_2=2$
(3)$x_1=-2,x_2=4$
(4)$x_1=x_2=1$
(5)方程 $ax^2+bx+c=-6$无实数解．

3. (2025·浙江温州鹿城期中) 抛物线$y = x^2+4x + 4$与x轴的公共点个数为(B)

A.0
B.1
C.2
D.3

答案： 3. B

4. 抛物线$y = x^2+4x + 5 - m$与x轴有两个不同的公共点，则m的取值范围是(D)

A.$m ＜ - 1$
B.$0 ＜ m \leq 1$
C.$m ＜ 1$
D.$m ＞ 1$

答案： 4. D

【变式1】 变式点：两个不同的公共点→只有一个公共点
(2024·潍坊) 抛物线$y = x^2+x + c$与x轴只有一个公共点，则c的值为(B)

A.$-\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$- 4$
D.4

答案： 【变式1】 B

【变式2】 变式点：两个不同的公共点→没有公共点
若二次函数$y = x^2+x + c$的图象与x轴没有公共点，则c的取值范围是$c＞ \frac{1}{4}$。

答案： 【变式2】 $c＞ \frac{1}{4}$

【变式3】 变式点：两个不同的公共点→有公共点
已知二次函数$y = x^2 - x+\frac{1}{4}m - 1$的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是$m\leq5$。

答案： 【变式3】 $m\leq5$

【变式4】 变式点：二次项系数为数字→二次项系数为字母
若抛物线$y = kx^2 - 2x - 1$与x轴有两个交点，则k的取值范围为(C)

A.$k ＞ - 1$
B.$k \geq - 1$
C.$k ＞ - 1$且$k \neq 0$
D.$k \geq - 1$且$k \neq 0$

答案： 【变式4】 C

5. 抛物线$y = ax^2+bx + c$的部分图象如图所示，则当$y ＞ 0$时，x的取值范围是(D)

A.$x ＞ - 1$
B.$x \geq - 1$
C.$- 1 \leq x \leq 3$
D.$- 1 ＜ x ＜ 3$
【拓展提问】 当函数值$y ＜ 0$时，自变量x的取值范围是$x＜-1$或 $x＞3$。

答案： 5. D 【拓展提问】 $x＜-1$或 $x＞3$

6. 如图，小明从二次函数$y = ax^2+bx + c$的图象中得出这样四条结论：①$a ＞ 0$；②$b ＞ 0$；③$c ＞ 0$；④$b^2 - 4ac ＞ 0$，其中正确的是①②④。(填序号)

答案： 6. ①②④