《2025年绩优课堂高效提升满分备考九年级数学全一册人教版》

1. (2024·苏州)如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，$AC$ 是弦，$D$ 是 $\overset{\frown}{AB}$ 的中点，$CD$ 与 $AB$ 交于点 $E$，$F$ 是 $AB$ 延长线上的一点，且 $CF = EF$。
(1)求证：$CF$ 为 $\odot O$ 的切线；
(2)连接 $BD$，取 $BD$ 的中点 $G$，连接 $AG$。若 $CF = 4$，$BF = 2$，求 $AG$ 的长。

答案： 1.
(1)证明：连接OC,OD.
∵∠OCD = ∠ODC.
∵FC = FE,
∴∠FCE = ∠FEC.
∵∠OED = ∠FEC,
∴∠OED = ∠FCE.
∵AB是⊙O的直径,D是AB的中点,
∴∠DOE = 90°.
∴∠OED + ∠ODC = 90°,
∴∠FCE + ∠OCD = 90°,
即∠OCF = 90°.
∴OC⊥CF,
∴CF为⊙O的切线.
(2)解：连接OC,AD.设⊙O的半径为r,则OF = r + 2.在Rt△OCF中$,4^{2} + r^{2} = (r + 2)^{2},$解得r = 3.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB = 90°.
∵AB = 6,D是AB的中点,
∴$AD = BD = 3\sqrt{2}. $
∵G为BD中点,
∴$DG = \frac{1}{2}BD = \frac{3}{2}\sqrt{2}. $
∴$AG = \sqrt{AD^{2} + DG^{2}} = \sqrt{(3\sqrt{2})^{2} + (\frac{3}{2}\sqrt{2})^{2}} = \frac{3}{2}\sqrt{10}.$

2. 如图，$C$ 是 $\odot O$ 上一点，点 $P$ 在直径 $AB$ 的延长线上，$\odot O$ 的半径为 $3$，$PB = 2$，$PC = 4$。求证：$PC$ 是 $\odot O$ 的切线。

答案： 2.证明：连接OC.
∵⊙O的半径为3,
∴OC = OB = 3.
又
∵BP = 2,
∴OP = 5.在△OCP中$,OC^{2} + PC^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 5^{2} = OP^{2},$
∴△OCP为直角三角形,∠OCP = 90°.
∴OC⊥PC.又
∵OC是⊙O的半径,
∴PC是⊙O的切线.

3. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB = AD = CD$，以 $AB$ 为直径的 $\odot O$ 经过点 $C$，连接 $AC$，$OD$ 相交于点 $E$，$AC = 2BC$。求证：$DC$ 与 $\odot O$ 相切。

答案： 3.证明：连接OC,
∵OA = OC,DA = DC,
∴OD垂直平分AC.
∴$AE = EC = \frac{1}{2}AC = BC,∠CED = 90°. $
∵OB = OC,
∴∠ABC = ∠OCB.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB = ∠CED = 90°.
又
∵AB = CD,
∴Rt△ABC≌Rt△DCE(HL).
∴∠DCE = ∠ABC = ∠OCB.
∴∠OCD = ∠DCE + ∠OCE = ∠OCB + ∠OCE = 90°.
∴OC⊥CD.
又
∵OC是⊙O的半径,
∴DC与⊙O相切.