《2025年绩优课堂高效提升满分备考九年级数学全一册人教版》

【变式】 若关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(2m + 3)x + m^{2}=0$有两个不相等的实数根$x_{1},x_{2}$，且$x_{1}+x_{2}=x_{1}x_{2}$，则$m$的值是(B)
A.$-1$
B.3
C.3或$-1$
D.$-3$或1

答案： 【变式】 B

10. (2023·遵义)在解一元二次方程$x^{2}+px + q = 0$时，小红看错了常数项$q$，得到方程的两个根是$-3,1$。小明看错了一次项系数$p$，得到方程的两个根是$5,-4$，则原来的方程是(B)

A.$x^{2}+2x - 3 = 0$
B.$x^{2}+2x - 20 = 0$
C.$x^{2}-2x - 20 = 0$
D.$x^{2}-2x - 3 = 0$

答案： 10.B

11. 若一元二次方程$x^{2}-7x + 5 = 0$的两个实数根分别是$a,b$，则一次函数$y = abx + a + b$的图象一定不经过(D)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 11.D

12. (2023·玉林)已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2x + m = 0$有两个不等的实数根$x_{1},x_{2}$，则(D)

A.$x_{1}+x_{2}＜0$
B.$x_{1}x_{2}＜0$
C.$x_{1}x_{2}＞-1$
D.$x_{1}x_{2}＜1$

答案： 12.D

13. (2023·宜宾)若$m,n$是一元二次方程$x^{2}+3x - 9 = 0$的两个根，则$m^{2}+4m + n$的值是6。

答案： 13.6

14. (2024·南充)已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+3x + k - 2 = 0$有实数根。
(1)求实数$k$的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为$x_{1},x_{2}$，若$(x_{1}+1)(x_{2}+1)=-1$，求$k$的值。

答案： 14.解：
(1)$\because$一元二次方程$x^{2}+3x+k-2=0$有实数根，$\therefore\Delta\geqslant0$.$\therefore\Delta=3^{2}-4(k-2)=-4k+17\geqslant0$.解得，$k\leqslant\frac{17}{4}$.
(2)方程的两个实数根分别为$x_{1}$，$x_{2}$，$\therefore x_{1}+x_{2}=-3$，$x_{1}x_{2}=k-2$.$\therefore(x_{1}+1)(x_{2}+1)=x_{1}x_{2}+(x_{1}+x_{2})+1$.$k-2-3+1=-1$，解得，$k=3$.

15. 已知实数$a,b$分别满足$a^{2}-6a + 4 = 0,b^{2}-6b + 4 = 0$，则$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$的值是多少？

答案： 15.解：当$a=b$时，$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=2$；当$a\neq b$时，实数$a$，$b$为方程$x^{2}-6x+4=0$的两根.$\therefore a+b=6$，$ab=4$.$\therefore\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{b^{2}+a^{2}}{ab}=\frac{(a+b)^{2}-2ab}{ab}=\frac{36-8}{4}=7$.综上所述，$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$的值是2或7.