《2025年绩优课堂高效提升满分备考九年级数学全一册人教版》

11. 如图，若将半径为 6 cm 的圆形纸片剪去 $\frac{1}{3}$，剩下的部分围成一个圆锥的侧面，则围成圆锥的全面积为40π$\mathrm{cm}^2$。

答案： 11.40π

12. (2023·邵阳)某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径 $ED$ 与母线 $AD$ 长之比为 $1:2$。制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中 $AB = AC$，$AD\perp BC$。将扇形 $AEF$ 围成圆锥时，$AE$，$AF$ 恰好重合。

(1) 求这种加工材料的顶角 $\angle BAC$ 的大小；
(2) 若圆锥底面圆的直径 $ED$ 为 5 cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积（结果保留 $\pi$）。

答案： 12.解：
(1)设∠BAC=n°。由题意，得$\pi·DE=\frac{n\pi·AD}{180}，$
∵AD=2DE，$\therefore n=90。$$\therefore∠BAC=90°。$
(2)
∵AD=2DE=10 cm，$\therefore S_{阴影}=\frac{1}{2}BC·AD-S_{扇形AEF}=\frac{1}{2}×10×20-\frac{90\pi×10^{2}}{360}=(100-25\pi)cm^{2}。$

13. 如图，有一直径是 1 m 的圆形铁皮，要从中剪出最大的圆心角为 $90°$ 的扇形 $ABC$，求：
(1) 被剪掉的阴影部分的面积；
(2) 用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？（结果用根号表示）

答案： 13.解：
(1)连接BC.
∵∠BAC=90°，$\therefore BC$是⊙O的直径，$\therefore BC=1m，$
∵AB=AC，$\therefore AB=AC=\frac{\sqrt{2}}{2}m。$
\thereforeS_{阴}=S_{⊙O}-S_{扇形ABC}=\pi×(\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}\pi×(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}=\frac{1}{8}\pi(m^{2})。
(2)设圆锥底面圆的半径为 r，
$\therefore\frac{90\pi×\frac{\sqrt{2}}{2}}{180}=2\pi r，$$\therefore r=\frac{\sqrt{2}}{8}m。$
综上可知，被剪掉阴影部分的面积为$\frac{1}{8}\pi m^{2}；$圆锥的底面圆的半径是$\frac{\sqrt{2}}{8}m。$

$14. 【$转化思想$】$如图，已知圆锥底面半径为$ 1，$母线长为$ 4，$地面圆周上有一点$ A，$一只蚂蚁从点$ A $出发沿圆锥侧面运动一周后到达母线$ PA $的中点$ B，$则蚂蚁爬行的最短路程为　　$2\sqrt{5}$　　$（$结果保留根号$）。$　　

答案： $14.2\sqrt{5}$