《2025年绩优课堂高效提升满分备考九年级数学全一册人教版》

8. (2023·潍坊)若菱形的两条对角线的长度是方程 $ x^2 - 6x + 8 = 0 $ 的两根，则该菱形的边长为(A)

A.$ \sqrt{5} $
B.4
C.$ 2\sqrt{5} $
D.5

答案： 8.A

9. 方程 $ x^2 = |x| $ 的根是$x_1=0,x_2=1,x_3=-1$。

答案： 9.$x_1=0,x_2=1,x_3=-1$

10. 在实数范围内定义一种新运算，规定：$ a★b = a^2 - b^2 $，则方程 $ (x + 2)★5 = 0 $ 的解为$x_1=3,x_2=-7$。

答案： 10.$x_1=3,x_2=-7$

11. 用因式分解法解下列方程：
(1) $ 2(x - 3)^2 = x^2 - 9 $。
(2) $ (3x - 1)^2 = (x + 1)^2 $。

答案： 11.
(1)$x_1=3,x_2=9$
(2)$x_1=0,x_2=1$

12. 已知关于 $ x $ 的方程 $ (a - 1)x^2 - 4x - 1 + 2a = 0 $ 的一个根为 $ x = 3 $。
(1) 求 $ a $ 的值及方程的另一个根。
(2) 如果一个三角形的三边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长。

答案： 12.解：
(1)由题意，得$9(a - 1)-4×3 - 1+2a=0$，解得$a=2$.
$\therefore$原方程为$x^2 - 4x + 3=0$。$\therefore x_1=1,x_2=3$.
$\therefore$方程的另一个根是$x=1$.
(2)由题意知，三角形的三边中至少有两条边相等，则有下列两种情形：①三边相等，边长为$1,1,1$或$3,3,3$，那么三角形的周长是$3$或$9$；②仅有两边相等，$\because1 + 1=2＜3$，$\therefore$三角形的边长只能为$3,3,1$，那么三角形的周长是$7$.综上所述，三角形的周长是$3$或$7$或$9$。

【注重阅读理解】阅读下列材料：
(1)将 $x^{2}+2x - 35$ 分解因式，我们可以按下面的方法解答：
①竖分二次项与常数项：
$x^{2}=x· x$，$-35 = (-5)×(+7)$。
②交叉相乘，验中项：
$\Rightarrow\Rightarrow 7x - 5x = 2x$。
③横向写出两因式：
$x^{2}+2x - 35=(x + 7)(x - 5)$。
我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法。
(2)根据乘法原理：若 $ab = 0$，则 $a = 0$ 或 $b = 0$。
试用上述方法和原理解下列方程：
(1)$x^{2}-10x + 16 = 0$；
(2)$x^{2}-5x - 14 = 0$。

答案：
(1)$x_1=2,x_2=8$
(2)$x_1=7,x_2=-2$

【变式 1】解方程：$2x^{2}+x - 6 = 0$。

答案： 解：$(2x - 3)(x + 2)=0,x_1=\frac{3}{2},x_2=-2$。

【变式 2】解方程：$3x^{2}-8x - 3 = 0$。

答案： 解：$(3x + 1)(x - 3)=0,x_1=-\frac{1}{3},x_2=3$。