《2025年绩优课堂高效提升满分备考九年级数学全一册人教版》

11. 二次函数$y=a(x+m)^{2}+n$的图象如图，则一次函数$y=mx+n$的图象不经过(A)


A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 11.A

12. 在体育测试中，九年级的一名男生推铅球，已知铅球经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图所示，若这个男生的出手处$A$点的坐标是$(0,2)$，铅球路线的最高处$B$点的坐标是$(4,\frac{8}{3})$，则这个二次函数的解析式为____，该男生能把铅球推出去____米.

答案： 12.$y=-\frac{1}{24}(x-4)^{2}+\frac{8}{3}$ 12

13. 如图，抛物线的顶点为$A(-3,-3)$，此抛物线交$x$轴于$O$，$B$两点.
(1)求此抛物线的解析式；
(2)求$\triangle AOB$的面积；
(3)若抛物线上另一点$P$满足$S_{\triangle POB}=S_{\triangle AOB}$，请求出点$P$的坐标.

答案： 13.解：
(1)设抛物线的解析式为$y=a(x+3)^{2}-3$.
把$(0,0)$代入得$a×3^{2}-3=0$，解得$a=\frac{1}{3}$，
∴此抛物线的解析式为$y=\frac{1}{3}(x+3)^{2}-3$.
(2)连接$AB$，$OA$，
∵抛物线的对称轴为直线$x=-3$，
∴点$B$的坐标为$(-6,0)$，$OB=6$，
∴$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}×6×3=9$.
(3)设点$P$的坐标为$(x,y)$，
∵$S_{\triangle POB}=S_{\triangle AOB}$，
∴$\frac{1}{2}×|y|×6=9$，解得$y=3$或$y=-3$(舍去)，
令$y=\frac{1}{3}(x+3)^{2}-3=3$，
解得$x_{1}=3\sqrt{2}-3$，$x_{2}=-3\sqrt{2}-3$，
∴点$P$的坐标为$(3\sqrt{2}-3,3)$或$(-3\sqrt{2}-3,3)$.

14. (2024·河南)小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头$P$距地面$0.7m$，水柱在距喷水头$P$水平距离$5m$处达到最高，最高点距地面$3.2m$；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为$y=a(x-h)^{2}+k$，其中$x(m)$是水柱距喷水头的水平距离，$y(m)$是水柱距地面的高度.
(1)求抛物线的表达式；
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头$P$水平距离$3m$. 身高$1.6m$的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离.

答案： 14.解：
(1)由题意知，点$(5,3.2)$是抛物线$y=a(x-h)^{2}+k$的顶点，
∴$y=a(x-5)^{2}+3.2$.
又
∵抛物线经过点$(0,0.7)$，
∴$0.7=a(0-5)^{2}+3.2$.
解得$a=-0.1$.
∴抛物线的表达式为$y=-0.1(x-5)^{2}+3.2$(或$y=-0.1x^{2}+x+0.7$).
(2)当$y=1.6$时，$1.6=-0.1(x-5)^{2}+3.2$.
解得$x_{1}=1$，$x_{2}=9$.
∴$9-1=2$，$9-3=6$.
答：小红与爸爸的水平距离为$2m$或$6m$.