《2025年绩优课堂高效提升满分备考九年级数学全一册人教版》

1. 一次函数 $ y = kx + b(k \neq 0) $ 与反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $ 在同一直角坐标系上的大致图象如图所示，则 $ k,b $ 的取值范围是(C)

A.$ k ＞ 0,b ＞ 0 $
B.$ k ＜ 0,b ＞ 0 $
C.$ k ＜ 0,b ＜ 0 $
D.$ k ＞ 0,b ＜ 0 $

答案： 1.C

2. (2023·宁夏)如图，函数 $ y_1 = x + 1 $ 与函数 $ y_2 = \frac{2}{x} $ 的图象相交于点 $ M(1,m) $，$ N(-2,n) $。若 $ y_1 ＞ y_2 $，则 $ x $ 的取值范围是(D)

A.$ x ＜ -2 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 1 $
B.$ x ＜ -2 $ 或 $ x ＞ 1 $
C.$ -2 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 1 $
D.$ -2 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ x ＞ 1 $

答案： 2.D

3. (2023·无锡)反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 与一次函数 $ y = \frac{8}{15}x + \frac{16}{15} $ 的图象有一个交点 $ B(\frac{1}{2},m) $，则 $ k $ 的值为(C)

A.1
B.2
C.$ \frac{2}{3} $
D.$ \frac{4}{3} $

答案： 3.C

4. (2023·安徽)如图，一次函数 $ y = x + k(k ＞ 0) $ 的图象与 $ x $ 轴和 $ y $ 轴分别交于点 $ A $ 和点 $ B $，与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象在第一象限内交于点 $ C $，$ CD \perp x $ 轴，$ CE \perp y $ 轴，垂足分别为点 $ D,E $。当矩形 $ ODCE $ 与 $ \triangle OAB $ 的面积相等时，$ k $ 的值为2。
]

答案： 4.2

5. (2024·宁波)如图，正比例函数 $ y = -\frac{2}{3}x $ 的图象与反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $ 的图象都经过点 $ A(a,2) $。
(1)求点 $ A $ 的坐标和反比例函数表达式；
(2)若点 $ P(m,n) $ 在该反比例函数图象上，且它到 $ y $ 轴距离小于 $ 3 $，请根据图象直接写出 $ n $ 的取值范围。
]

答案： 5.解:
(1)把A(a,2)的坐标代入$y = -\frac{2}{3}x，$得$2 = -\frac{2}{3}a，$
解得a = -3.
∴A(-3,2).
把A(-3,2)的坐标代入$y = \frac{k}{x}，$得$2 = \frac{k}{-3}，$解得k = -6.
∴反比例函数的表达式为$y = -\frac{6}{x}.$
(2)n＞2或n＜-2.

6. (2023·天津模拟)如图，已知点 $ A(4,a) $，$ B(-10,-4) $ 是一次函数 $ y = kx + b $ 图象与反比例函数 $ y = \frac{m}{x} $ 图象的交点，且一次函数与 $ x $ 轴交于 $ C $ 点。
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；
(2)连接 $ AO $，求 $ \triangle AOB $ 的面积；
(3)在 $ y $ 轴上有一点 $ P $，使得 $ S_{\triangle AOP} = S_{\triangle AOC} $，求出点 $ P $ 的坐标。
]

答案： 6.解:
(1)
∵点A(4,a),B(-10,-4)是一次函数y = kx + b图象与反比例函数$y = \frac{m}{x}$图象的交点，
∴$ -4 = \frac{m}{-10}，$
∴m = 40，
∴反比例函数的解析式为$y = \frac{40}{x}$
把A(4,a)代入，得$a = \frac{40}{4} = 10，$
∴A(4,10)，
把A(4,10),B(-10,-4)代入y = kx + b，得
$\begin{cases}4k + b = 10\\-10k + b = -4\end{cases}，$解得$\begin{cases}k = 1\\b = 6\end{cases}$
∴一次函数的解析式为y = x + 6;
(2)在y = x + 6中，令y = 0，求得x = -6，
∴C(-6,0)，
∴$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}×6×10+\frac{1}{2}×6×4 = 42;$
(3)
∵$S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}×6×10 = 30，$$S_{\triangle AOP}=S_{\triangle AOC}，$
∴$\frac{1}{2}OP· x_{A}=30，$即$\frac{1}{2}OP×4 = 30，$
∴OP = 15，
∴P的坐标为(0,15)或(0,-15).