《2025年绩优课堂高效提升满分备考九年级数学全一册人教版》

9. 如图，在 $\odot O$ 中，$\overset{\frown}{AC} = 2\overset{\frown}{AB}$.
试判断 $AC$ 与 $2AB$ 的大小关系，并说明理由.
解：$\because$ 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的弦相等，
$\therefore$ 当 $\overset{\frown}{AC} = 2\overset{\frown}{AB}$ 时，$AC = 2AB$.
以上解答是否正确？若不正确，请改正.

答案： 9.解:不正确，$2AB＞AC$。
　理由:连接BC，
∵$AC = 2AB$，
∴$AB = BC$，
∴$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BC}$。
∵在$\triangle ABC$中，$AB + BC＞AC$，
∴$2AB＞AC$。

10. 如图，已知 $A$，$B$，$C$，$D$ 四点都在 $\odot O$ 上，$OB \perp AC$，$BC = CD$，下列四个说法：
① $\overset{\frown}{AC} = 2\overset{\frown}{CD}$；② $AC = 2CD$；
③ $OC \perp BD$；④ $\angle AOD = 3\angle BOC$.
其中正确的有(C)

A.$1$ 个
B.$2$ 个
C.$3$ 个
D.$4$ 个

答案： 10.C

11. 如图，在 $\odot O$ 中，若点 $C$ 是 $\overset{\frown}{AB}$ 的中点，$\angle A = 50^{\circ}$，则 $\angle BOC$ 的度数是(A)


A.$40^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$60^{\circ}$

答案： 11.A

12. （2023·陕西西安雁塔期中）如图，$AB$ 为 $\odot O$ 的弦，半径 $OC$，$OD$ 分别交 $AB$ 于点 $E$，$F$，且 $\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{DB}$.
（1）求证：$AE = BF$；
（2）作半径 $ON \perp AB$ 于点 $M$，若 $AB = 12$，$MN = 3$，求 $OM$ 的长.

答案： 12.
(1)证明:连接OA、OB，
∵$OA = OB$，
∴$\angle A = \angle B$。
∵$AC = BD$，
∴$\angle AOE = \angle BOF$。
　　在$\triangle AOE$和$\triangle BOF$中，$\begin{cases} \angle A = \angle B \\ OA = OB \\ \angle AOE = \angle BOF \end{cases}$
∴$\triangle AOE \cong \triangle BOF(ASA)$，
∴$AE = BF$。
(2)解:
∵$OM \perp AB$，
∴$AM = \frac{1}{2}AB = 6$。
　　设$OM = x$，则$OA = ON = x + 3$。
　　在$Rt\triangle AOM$中，由勾股定理得$6^{2} + x^{2} = (x + 3)^{2}$，
　　解得$x = 4.5$，
∴$OM = 4.5$。

13. 如图，$MN$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $A$ 是半圆上一个三等分点，点 $B$ 是 $\overset{\frown}{AN}$ 的中点，点 $B'$ 是点 $B$ 关于 $MN$ 的对称点，$\odot O$ 的半径为 $1$，则 $AB'$ 的长为$\sqrt{2}$.

答案： 13.$\sqrt{2}$