《2025年绩优课堂高效提升满分备考九年级数学全一册人教版》

9. 二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a \neq 0) $ 的部分图象如图所示，其对称轴为直线 $ x = -\frac{1}{2} $，且与 $ x $ 轴的一个交点坐标为 $ (-2,0) $ 。下列结论：① $ abc ＞ 0 $；② $ a = b $；③ $ 2a + c = 0 $；④ 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c - 1 = 0 $ 有两个相等的实数根。其中正确结论的序号是(D)


A.①③
B.②④
C.③④
D.②③

答案： 9.D

10. (2023·襄阳) 一次函数 $ y = ax + b $ 的图象如图所示，则二次函数 $ y = ax^{2}+bx $ 的图象可能是(D)

答案： 10.D

11. 已知二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a \neq 0) $ 的自变量 $ x $ 与函数值 $ y $ 之间满足下表中的数量关系，则：

(1) $ a - b + c = $ 5 ；
(2) $ 4a - 2b + c = $ 12 。

答案： 11.
(1)5
(2)12

12. 如图，抛物线 $ y = ax^{2}-5ax + 4a(a \neq 0) $ 与 $ x $ 轴相交于点 $ A,B $，且过点 $ C(5,4) $ 。
(1) 求 $ a $ 的值和该抛物线顶点 $ P $ 的坐标；

(2) 请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式。

答案： 12.解：
(1)把点$C(5,4)$代入抛物线$y=ax^{2}-5ax+4a$,得$25a-25a+4a=4$,解得$a=1$.
$\therefore$该抛物线的解析式为$y=x^{2}-5x+4$.
$\because y=x^{2}-5x+4=(x-\frac{5}{2})^{2}-\frac{9}{4}$,$\therefore$顶点$P$的坐标为$(\frac{5}{2},-\frac{9}{4})$.
(2)(答案不唯一,合理即正确)如：先向左平移$3$个单位长度,再向上平移$4$个单位长度,得到的二次函数解析式为$y=(x-\frac{5}{2}+3)^{2}-\frac{9}{4}+4=(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{7}{4}$,即$y=x^{2}+x+2$.

13. (2024·绍兴) 已知函数 $ y = -x^{2}+bx + c(b,c $ 为常数) 的图象经过点 $ (0,-3),(-6,-3) $ 。
(1) 求 $ b,c $ 的值；
(2) 当 $ -4 \leq x \leq 0 $ 时，求 $ y $ 的最大值；
(3) 当 $ m \leq x \leq 0 $ 时，若 $ y $ 的最大值与最小值之和为2，求 $ m $ 的值。

答案： 13.解：
(1)把$(0,-3),(-6,-3)$代入$y=-x^{2}+bx+c$,得$b=-6,c=-3$.
(2)$\because y=-x^{2}-6x-3=-(x+3)^{2}+6$,又$\because-4\leq x\leq0$,
$\therefore$当$x=-3$时,$y$有最大值为$6$.
(3)①当$-3＜m\leq0$时,
当$x=0$时,$y$有最小值为$-3$,
当$x=m$时,$y$有最大值为$-m^{2}-6m-3$,
$\therefore-m^{2}-6m-3+(-3)=2$,$\therefore m=-2$或$m=-4$(舍去).
②当$m\leq-3$时,当$x=-3$时,$y$有最大值为$6$,
$\because y$的最大值与最小值之和为$2$,$\therefore y$最小值为$-4$,
$\therefore-(m+3)^{2}+6=-4$,$\therefore m=-3-\sqrt{10}$或$m=-3+\sqrt{10}$(舍去).
综上所述,$m=-2$或$-3-\sqrt{10}$.