《2025年绩优课堂高效提升满分备考九年级数学全一册人教版》

8. (2023·沧州新华区月考)如图，P是等边三角形ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5.若将△APB绕着点B逆时针旋转60°后得到△CQB，则∠APB的度数为(A)

A.150°
B.145°
C.135°
D.120°

答案： 8.A

9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，△A'B'C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A'与点A是对应点，点B'与点B是对应点，连接AB'，且A，B'，A'在同一条直线上，则AA'的长为(A)

A.6
B.4√3
C.3√3
D.3

答案： 9.A

10. 【转化思想】如图，在△ABC中，AB=6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A₁BC₁，则阴影部分的面积为9.

答案： 10.9

11. 如图，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D.
（1）求证：BE=CF；
（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长.

答案： 11.
(1)证明：由旋转的性质可得，∠EAF=∠BAC，AF=AC，AE=AB.
∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠BAE=∠CAF.
又
∵AB=AC，
∴AE=AF.
∴△ABE≌△ACF(SAS).
∴BE=CF.
(2)解：
∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，
∴DE=AE=AC=AB=1，AC//DE.
∴∠AEB=∠ABE,∠ABE=∠BAC=45°.
∴∠AEB=∠ABE=45°.
∴△ABE为等腰直角三角形.
∵AE=AB=1，
∴$BE=\sqrt{2}.$
∴$BD=BE-DE=\sqrt{2}-1.$

12. 如图，已知正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCM.
（1）求证：EF=MF；
（2）当AE=1时，求EF的长.

答案： 12.
(1)证明：将△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，
∴DE=DM，∠EDM=90°.
∵∠EDF=45°，
∴∠MDF=45°.
∴∠EDF=∠MDF.
又
∵DF=DF，DE=DM，
∴△DEF≌△DMF.
∴EF=MF.
(2)解：
∵将△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠DCM=∠A=90°,CM=AE=1.
∴∠BCD+∠DCM=180°，即点B，C，M共线.
设EF=MF=x.
∵AE=CM=1，AB=BC=3，
∴EB=AB-AE=3-2=1，BM=BC+CM=3+1=4.
∴BF=BM-MF=4-x.
在Rt△EBF中，由勾股定理，得$EB^{2}+BF^{2}=EF^{2}，$
即$2^{2}+(4-x)^{2}=x^{2}，$解得$x=\frac{5}{2}.$则EF的长为$\frac{5}{2}.$