《2025年绩优课堂高效提升满分备考九年级数学全一册人教版》

1. (1) 把二次函数 $ y = x^{2}-2x + 4 $ 化为 $ y = a(x - h)^{2}+k $ 的形式为 y=(x-1)²+3 。
(2) 把二次函数 $ y = \frac{1}{2}x^{2}-3x + 1 $ 化成 $ y = a(x - h)^{2}+k $ 的形式为 y=1/2(x-3)²-7/2 。

答案： 1.
(1)$y=(x-1)^{2}+3$
(2)$y=\frac{1}{2}(x-3)^{2}-\frac{7}{2}$

2. 求二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $ 的图象的对称轴和顶点坐标。
解：将 $ y = ax^{2}+bx + c $ 的二次项系数化为1，得 $ y = a(x^{2}+ $ b/a $ x)+c $，
配方，得 $ y = a[x^{2}+\frac{b}{a}x + ( $ ______ $ )^{2}-( $ ______ $ )^{2}]+c $，
$\therefore y = a(x + $ ______ $ )^{2}- $ ______ $ +c $，
即 $ y = a(x + $ b/2a $ )^{2}+ $ 4ac-b²/4a 。
$\therefore$ 抛物线的对称轴是直线 x=-b/2a ，顶点坐标是 (-b/2a，4ac-b²/4a) 。

答案： 2. $\frac{b}{a}$ $\frac{b}{2a}$ $\frac{b}{2a}$ $\frac{b}{2a}$ $\frac{b^{2}}{4a}$ $\frac{b}{2a}$ $\frac{4ac-b^{2}}{4a}$ $x=-\frac{b}{2a}$ $(-\frac{b}{2a}$,$\frac{4ac-b^{2}}{4a}$)

3. 二次函数 $ y = -\frac{1}{2}x^{2}-7x + \frac{15}{2} $ 的图象的对称轴是 ______ ，顶点坐标是 ______ 。

答案： 3.直线$x=-7$ $(-7,32)$

4. 若二次函数 $ y = ax^{2}-x + a^{2}-1 $ 的图象过原点且开口向上，则 $ a $ 的值是 1 。

答案： 4 1

5. 二次函数 $ y = -2x^{2}-3x + 1 $ 的图象大致是(B)

答案： 5.B

6. (2023·河北模拟) 对二次函数 $ y = \frac{1}{2}x^{2}+2x + 3 $ 的性质描述正确的是(A)

A.该函数图象的对称轴在 $ y $ 轴左侧
B.当 $ x ＜ 0 $ 时， $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
C.函数图象开口向下
D.该函数图象与 $ y $ 轴的交点位于 $ y $ 轴负半轴

答案： 6.A

7. 已知二次函数 $ y = -x^{2}+2x + 3 $ 。
(1) 求函数图象的顶点坐标，并画出这个函数的图象。
(2) ① 已知函数图象上两点 $ A(x_{1},y_{1}) $ 和 $ B(x_{2},y_{2}) $，若 $ x_{1} ＜ x_{2} ＜ 0 $，则 $ y_{1} $ 与 $ y_{2} $ 的大小关系为 y₁＜y₂ ；
② 当 $ -1 ＜ x ＜ 4 $ 时，求 $ y $ 的取值范围。

答案： 7.解：
(1)$\because y=-x^{2}+2x+3=-(x-1)^{2}+4$,$\therefore$函数图象的顶点坐标为$(1,4)$.图象略.
(2)①$y_{1}＜y_{2}$ ②当$-1＜x＜4$时,$y$的取值范围是$-5＜y\leq4$.

8. (1) 把抛物线 $ y = x^{2}+3x $ 向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 y=x²+5x+1 ；
(2) 二次函数 $ y = x^{2}+2x + 2 $ 的图象先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则平移后二次函数图象的顶点坐标是 (2,3) 。

答案： 8.
(1)$y=x^{2}+5x+1$
(2)$(2,3)$