《2025年绩优课堂高效提升满分备考九年级数学全一册人教版》

7. (2024·四川广元苍溪模拟)如图，一次函数 $ y = x - 6 $ 的图象与反比例函数 $ y = \frac{m}{x} $（$ m $ 为常数，且 $ m \neq 0 $）的图象交于 $ M(a,-5) $，$ N $ 点。
(1)求反比例函数的解析式及 $ N $ 点的坐标；
(2)求线段 $ MN $ 的长度。
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答案：
7.解:
(1)
∵一次函数y = x - 6的图象经过点M(a,-5)，
∴ -5 = a - 6，解得a = 1，
∴M(1,-5).
∵反比例函数$y = \frac{m}{x}$的图象过点M(1,-5)，
∴m = 1×(-5) = -5，
∴反比例函数的解析式为$y = -\frac{5}{x}$
由$\begin{cases}y = -\frac{5}{x}\\y = x - 6\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 1\\y = -5\end{cases}$或$\begin{cases}x = 5\\y = -1\end{cases}$
∴点N的坐标为(5,-1).
(2)如图，过点M作直线平行于y轴，过点N作直线平行于x轴，设两直线交于点P.

∵M(1,-5),N(5,-1)，
∴PM = 4，PN = 4.
在$Rt\triangle PMN$中，$MN = \sqrt{PM^{2}+PN^{2}} = 4\sqrt{2}$

8. (2024·杭州)设函数 $ y_1 = \frac{k_1}{x} $，函数 $ y_2 = k_2x + b $（$ k_1,k_2,b $ 是常数，$ k_1 \neq 0 $，$ k_2 \neq 0 $）。
(1)若函数 $ y_1 $ 和函数 $ y_2 $ 的图象交于点 $ A(1,m) $，点 $ B(3,1) $，
①求函数 $ y_1,y_2 $ 的表达式；
②当 $ 2 ＜ x ＜ 3 $ 时，比较 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小（直接写出结果）。
(2)若点 $ C(2,n) $ 在函数 $ y_1 $ 的图象上，点 $ C $ 先向下平移 $ 2 $ 个单位，再向左平移 $ 4 $ 个单位，得点 $ D $，点 $ D $ 恰好落在函数 $ y_1 $ 的图象上，求 $ n $ 的值。

答案： 8.解:
(1)①由题意，得$k_{1}=3×1 = 3，$所以函数$y_{1}=\frac{3}{x}$
因为函数$y_{1}$的图象过点A(1,m)，所以m = 3，
由题意，得$\begin{cases}3 = 3k_{2}+b\\1 = k_{2}+b\end{cases}$解得$\begin{cases}k_{2}=-1\\b = 4\end{cases}$
所以$y_{2}=-x + 4.$
$②y_{1}＜y_{2}.$
(2)由题意，得点D的坐标为(-2,n - 2)，
所以-2(n - 2)=2n，解得n = 1.

9. (2023·岳阳)如图，一次函数 $ y = x + 5 $ 的图象与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $（$ k $ 为常数且 $ k \neq 0 $）的图象相交于 $ A(-1,m) $，$ B $ 两点。
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将一次函数 $ y = x + 5 $ 的图象沿 $ y $ 轴向下平移 $ b $ 个单位（$ b ＞ 0 $），使平移后的图象与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象有且只有一个交点。求 $ b $ 的值。
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答案： 9.解:
(1)
∵一次函数y = x + 5的图象与反比例函数$y = \frac{k}{x}(k$为常数且k≠0)的图象相交于A(-1,m)，
∴m = 4，
∴k = -1×4 = -4，
∴反比例函数的表达解析式为$y = -\frac{4}{x}.$
(2)
∵一次函数y = x + 5的图象沿y轴向下平移b个单位(b＞0)，
∴y = x + 5 - b.
∵平移后的图象与反比例函数$y = -\frac{4}{x}$的图象有且只有一个交点，
∴$x + 5 - b = -\frac{4}{x}，$
∴$x^{2}+(5 - b)x + 4 = 0，$
∵$\Delta=(5 - b)^{2}-16 = 0，$解得b = 9或1.