《2025年绩优课堂高效提升满分备考九年级数学全一册人教版》

11. 如图，在长为8cm，宽为4cm的矩形中截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是(C)


A.$2cm^{2}$
B.$4cm^{2}$
C.$8cm^{2}$
D.$16cm^{2}$

答案： 11.C

12. 已知三条线段的长分别为1cm，2cm，$\sqrt{2}cm$，如果另外一条线段与它们是成比例线段，那么另外一条线段的长为\sqrt{2} cm或2\sqrt{2} cm或\frac{\sqrt{2}}{2} cm .

答案： $12.\sqrt{2} cm$或$2\sqrt{2} cm$或$\frac{\sqrt{2}}{2} cm$

13. 如图，$DE// BC$，BD，CE相交于点A，$DE = 3$，$BC = 9$，$AD = 1.5$，$AB = 4.5$，$AE = 1.8$，$AC = 5.4$.
（1）求$\frac{AD}{AB}$，$\frac{AE}{AC}$，$\frac{DE}{BC}$的值；
（2）求证：$\triangle ADE$与$\triangle ABC$相似.

答案： 13.
(1)解：$\frac{AD}{AB}=\frac{1.5}{4.5}=\frac{1}{3},\frac{AE}{AC}=\frac{1.8}{5.4}=\frac{1}{3},\frac{DE}{BC}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3};$
(2)证明：$\because DE// BC,\therefore \angle D=\angle B,\angle E=\angle C.$
又$\because \angle DAE=\angle BAC,\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC},\therefore \triangle ADE$与$\triangle ABC$
相似.

14. 已知长$AB = 30$，宽$BC = 20$的矩形黑板ABCD.
（1）如图1，若矩形黑板ABCD四周有宽为1的边框区域，图中所形成的两个矩形ABCD与$A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$相似吗？请说明理由；
（2）如图2，当x为多少时，图中的矩形ABCD与矩形$A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$相似？

答案： 14.解：
(1)不相似，理由如下：AB=30,A'B'=28,BC=20,B'C'
=18,而$\frac{28}{30}\neq\frac{18}{20},\frac{28}{20}\neq\frac{18}{30},$故矩形ABCD与矩形A'B'C'D'不
相似.
(2)若矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似，则$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}$或
$\frac{A'B'}{BC}=\frac{B'C'}{AB},$即$\frac{30 - 2x}{30}=\frac{20 - 2}{20}$或$\frac{30 - 2x}{20}=\frac{20 - 2}{30},$解得x=
1.5或9.
故当x=1.5或9时，矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似.

15. 如图，正方形EFGH的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上. 若正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为$\frac{\sqrt{5}}{3}$，则$\frac{AE}{AB}$（$AE ＜ BE$）的值为\frac{1}{2} .

答案： $15.\frac{1}{2}$