《2025年绩优课堂高效提升满分备考九年级数学全一册人教版》

11. 两个相似三角形的相似比为 $2:5$，已知其中一个三角形的一条角平分线的长为 $10$，那么另一个三角形对应的角平分线的长为25或4。

答案： 11.25或4

12. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，点 $D$，$E$ 分别在边 $AB$ 和 $AC$ 上，且 $DE// BC$。
(1)若 $AD:DB = 1:1$，则 $S_{\triangle ADE}:S_{四边形DBCE}=$\frac{1}{3}。
(2)若 $S_{\triangle ADE}=S_{四边形DBCE}$，则 $AD:DB=$\sqrt{2}+1。

答案： $12.(1)\frac{1}{3} (2)\sqrt{2}+1$

13. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，点 $D$，$E$ 分别在 $AB$，$AC$ 上，$AF$ 平分 $\angle BAC$ 交 $DE$ 于点 $G$。若 $AE = 3$，$EC = 1$，$AD = 2$，$BD = 4$，则 $AG:AF$ 的值为1:2。

答案： 13.1:2

14. 如图，$\triangle ABO$ 的顶点 $A$ 在函数 $y=\frac{k}{x}(x\gt0)$ 的图象上，$\angle ABO = 90^{\circ}$，过 $AO$ 边的三等分点 $M$，$N$ 分别作 $x$ 轴的平行线交 $AB$ 于点 $P$，$Q$。若四边形 $MNQP$ 的面积为 $3$，则 $k$ 的值为18。

答案： 14.18

15. (2025·唐山遵化市一模)如图，矩形 $ABCD$ 的一条边 $AD = 8$，将矩形 $ABCD$ 折叠，使得顶点 $B$ 落在 $CD$ 边上的点 $P$ 处，折痕与边 $BC$ 交于点 $O$。
(1)求证：$\triangle OCP\backsim\triangle PDA$。
(2)若 $\triangle OCP$ 与 $\triangle PDA$ 的面积比为 $1:4$，求边 $AB$ 的长。

答案： 15.
(1)证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=8,DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°.
由折叠的性质，得AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B=90°.
∴∠APD=90°−∠CPO=∠POC.
又
∵∠D=∠C，
∴△OCP∽△PDA.
(2)解：
∵△OCP与△PDA的面积比为1:4，
∴$\frac{OC}{PD}=\frac{OP}{PA}=\frac{CP}{DA}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}.$
∴PD=2OC,PA=2OP,DA=2CP.
∵AD=8，
∴CP=4.设OP=x，则OB=x,CO=8−x.
在Rt△PCO中，
∵∠C=90°，
∴OP²=CO²+CP²，
即x²=(8−x)²+4².解得x=5.
∴AB=AP=2OP=10.

16. 如图，$\triangle ABC$ 为锐角三角形，$AD$ 是 $BC$ 边上的高，与 $EH$ 交于点 $M$，正方形 $EFGH$ 的一边 $FG$ 在 $BC$ 上，顶点 $E$，$H$ 分别在 $AB$，$AC$ 上，已知 $BC = 40$ cm，$AD = 30$ cm。
(1)求证：$\triangle AEH\backsim\triangle ABC$；
(2)求这个正方形的边长与面积。

答案： 16.
(1)证明：
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH//BC，
∴△AEH∽△ABC.
(2)解：由题得∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，
∴四边形EFDM是矩形，
∴EF=DM.
设正方形EFGH的边长为x.
∵△AEH∽△ABC，
∴$\frac{EH}{BC}=\frac{AM}{AD}，$
∴$\frac{x}{40}=\frac{30−x}{30}，$解得$x=\frac{120}{7}，$
∴正方形EFGH的边长为$\frac{120}{7}cm，$面积为$\frac{14400}{49}cm².$