《2025年绩优课堂高效提升满分备考九年级数学全一册人教版》

1. 已知$\alpha,\beta$是一元二次方程$x^{2}+x - 2 = 0$的两个实数根，则$\alpha+\beta$的值是(C)

A.3
B.1
C.$-1$
D.$-3$

答案： 1.C

2. (2024·黄冈)若一元二次方程$x^{2}-4x + 3 = 0$的两个根是$x_{1},x_{2}$，则$x_{1}· x_{2}$的值是3。

答案： 2.3

3. 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积。
(1)$2x^{2}-3x = 5$。
(2)$2x^{2}+3 = 7x^{2}+x$。

答案： 3.解：
(1)原方程可化为$2x^{2}-3x-5=0$，$\Delta=b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4×2×(-5)=49＞0$，$\therefore$方程有两个不相等的实数根.设方程的两根为$x_{1}$，$x_{2}$，则$x_{1}+x_{2}=\frac{3}{2}$，$x_{1}x_{2}=-\frac{5}{2}$.
(2)原方程可化为$5x^{2}+x-3=0$，$\Delta=b^{2}-4ac=1^{2}-4×5×(-3)=61＞0$，$\therefore$方程有两个不相等的实数根.设方程的两根为$x_{1}$，$x_{2}$，则$x_{1}+x_{2}=-\frac{1}{5}$，$x_{1}x_{2}=-\frac{3}{5}$.

4. 关于$x$的一元二次方程$x^{2}-mx + 2m - 1 = 0$的两个实数根分别是$x_{1},x_{2}$，且$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=7$，则$(x_{1}-x_{2})^{2}$的值是(C)

A.1
B.12
C.13
D.25

答案： 4.C

5. 一元二次方程$x^{2}+ax + b = 0$的两个根分别为$2$和$-3$，那么(C)

A.$a = 2,b = - 3$
B.$a = - 3,b = 2$
C.$a = 1,b = - 6$
D.$a = - 1,b = 6$

答案： 5.C

6. 已知$x_{1},x_{2}$是关于$x$的方程$x^{2}+kx - 3 = 0$的两根，且满足$x_{1}+x_{2}-3x_{1}x_{2}=4$，则$k$的值为5。

答案： 6.5

7. (2023·南京)设$x_{1},x_{2}$是关于$x$的方程$x^{2}-3x + k = 0$的两个根，且$x_{1}=2x_{2}$，则$k=$2。

答案： 7.2

8. 已知$x_{1},x_{2}$是一元二次方程$x^{2}-3x - 1 = 0$的两根，不解方程求下列各式的值：
(1)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$；
(2)$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$。

答案： 8.解：由题可知$x_{1}+x_{2}=3$，$x_{1}x_{2}=-1$.
(1)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=3^{2}-2×(-1)=11$.
(2)$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{3}{-1}=-3$.

9. 若关于$x$的方程$x^{2}+(a - 1)x + a^{2}=0$的两个根互为倒数，求$a$的值。
解：因为方程的两根互为倒数，所以两根的积为1。
由根与系数的关系，得$a^{2}=$1。
解得$a=$$\pm1$。
当$a=$1时，原方程化为$x^{2}+1=0$，根的判别式$\Delta$＜$0$，此方程没有实数根，所以舍去$a=$1。所以$a=$$-1$。

答案： 9.1 1 $\pm1$ 1 $x^{2}+1=0$ ＜ 没有 1 -1