《2025年绩优课堂高效提升满分备考九年级数学全一册人教版》

10. 关于函数 $ y = 2x^2 - 3 $，$ y = -\frac{1}{2}x^2 $ 的图象及性质，下列说法不正确的是 (D)

A.它们的对称轴都是 $ y $ 轴
B.对于函数 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $，当 $ x ＞ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
C.抛物线 $ y = 2x^2 - 3 $ 不能由抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $ 平移得到
D.抛物线 $ y = 2x^2 - 3 $ 的开口比抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $ 的开口大

答案： 10.D

11. 在同一平面直角坐标系中，函数 $ y = ax^2 + b $ 与 $ y = ax + b $($ a $，$ b $ 都不为 0)的图象的相对位置可以是 (A)

答案： 11.A

12. 若抛物线 $ y = ax^2 + c $ 与抛物线 $ y = -4x^2 + 3 $ 关于 $ x $ 轴对称，则 $ a = $4，$ c = $-3.

答案： 12.4 $-3$

13. (唐山乐亭一模)如图，平面直角坐标系中二次函数 $ y = x^2 + 1 $ 的图象经过 $ A $，$ B $ 两点，且坐标分别为 $ (a, \frac{29}{4}) $，$ (b, \frac{29}{4}) $，则 $ AB $ 的长度为 (A)


A.5
B.$ \frac{25}{4} $
C.$ \frac{\sqrt{29}}{2} $
D.$ \frac{29}{2} $

答案： 13.A

14. 如图，抛物线 $ y = -x^2 + 4 $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $，$ B $ 两点，与 $ y $ 轴交于点 $ C $，四边形 $ ABCD $ 为平行四边形.

(1) 直接写出 $ A $，$ B $，$ C $ 三点的坐标；
(2) 若抛物线向上平移后恰好经过点 $ D $，求平移后抛物线的解析式.

答案： 14.解：
(1)$A(-2,0)$,$B(2,0)$,$C(0,4)$.
(2)
∵四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$AB=4$,$C(0,4)$,
∴$CD=AB=4$,$CD// AB$.
∴$D(-4,4)$.
设平移后的抛物线为 $y=-x^{2}+4+m$，则 $4=-(4)^{2}+4+m$，解得 $m=16$.
∴平移后抛物线的解析式为 $y=-x^{2}+20$.

15. 已知抛物线 $ y = -x^2 + 4 $ 交 $ x $ 轴于 $ A $，$ B $ 两点，顶点是 $ C $.
(1) 求 $ \triangle ABC $ 的面积；
(2) 若点 $ P $ 在抛物线 $ y = -x^2 + 4 $ 上，且 $ S_{\triangle PAB} = \frac{1}{2}S_{\triangle ABC} $，求点 $ P $ 的坐标.

答案： 15.解：
(1)令 $x=0$,则 $y=4$,
∴$C(0,4)$，令 $y=0$,则 $-x^{2}+4=0$，
解得 $x_{1}=2$,$x_{2}=-2$.
∴$B(-2,0)$,$A(2,0)$,
∴$AB=4$,$OC=4$，
∴$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}· AB· OC=8$.
(2)设点 $P(x_{P},y_{P})$，则 $S_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}AB· |y_{P}|=4$,
∴$|y_{P}|=2$.
当 $y_{P}=2$时,$x=\pm \sqrt{2}$;当 $y_{P}=-2$时,$x=\pm \sqrt{6}$,
∴$P_{1}(\sqrt{2},2)$,
$P_{2}(-\sqrt{2},2)$,$P_{3}(\sqrt{6},-2)$,$P_{4}(-\sqrt{6},-2)$.