《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

9. 若$a=1.2,b=sin1.2,c=tan1.2$,则（ ）
A.$c＞a＞b$ B.$c＞b＞a$ C.$a＞c＞b$ D.$b＞c＞a$

答案： A
解析：$1.2rad\approx68.7^{\circ}$，在$(0,\frac{π}{2})$内，$tanx＞x＞sinx$，所以$c＞a＞b$，答案为A。

10. 已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合.若角α的终边所在的射线为$y=-2x(x≤0)$,则$\sqrt {5}cosα-2tanα=$____.

答案： 0
解析：射线$y=-2x(x≤0)$，取点$(-1,2)$，$r=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$。
$cosα=\frac{-1}{\sqrt{5}}$，$tanα=\frac{2}{-1}=-2$。
$\sqrt{5}cosα - 2tanα=\sqrt{5}×(-\frac{1}{\sqrt{5}})-2×(-2)=-1 + 4=3$。

11. 根据下列条件,利用单位圆写出θ的取值范围.
（1）$cosθ＜\frac {\sqrt {2}}{2};$
（2）$\frac {1}{2}≤sinθ＜\frac {\sqrt {3}}{2}.$

答案： （1）$(\frac{π}{4}+2kπ,\frac{7π}{4}+2kπ),k\in \mathbf{Z}$；（2）$[\frac{π}{6}+2kπ,\frac{π}{3}+2kπ)\cup (\frac{2π}{3}+2kπ,\frac{5π}{6}+2kπ],k\in \mathbf{Z}$
解析：（1）单位圆中$cosθ=\frac{\sqrt{2}}{2}$对应$θ=\pm\frac{π}{4}+2kπ$，$cosθ＜\frac{\sqrt{2}}{2}$的范围是$(\frac{π}{4}+2kπ,\frac{7π}{4}+2kπ),k\in \mathbf{Z}$；
（2）$sinθ=\frac{1}{2}$对应$θ=\frac{π}{6}+2kπ$或$\frac{5π}{6}+2kπ$，$sinθ=\frac{\sqrt{3}}{2}$对应$θ=\frac{π}{3}+2kπ$或$\frac{2π}{3}+2kπ$，范围是$[\frac{π}{6}+2kπ,\frac{π}{3}+2kπ)\cup (\frac{2π}{3}+2kπ,\frac{5π}{6}+2kπ],k\in \mathbf{Z}$。

12. 阅读与探究.
将角放在直角坐标系中,讨论不但使角的表示有了统一的方法,而且使我们能够借助直角坐标系中的单位圆,建立角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系,从而用单位圆上点的纵坐标、横坐标来表示圆心角的正弦函数、余弦函数.因此,正弦函数、余弦函数的基本性质与圆的几何性质(主要是对称性)之间存在着非常紧密的联系.例如,和单位圆相关的“勾股定理”与同角三角函数的基本关系有内在的一致性;单位圆周长为2π与正弦函数、余弦函数的周期为2π是一致的;圆的各种对称性与三角函数的奇偶性、诱导公式等也是一致的;等等.因此,三角函数的研究过程能够很好地体现数形结合思想.
下面我们再从图形角度认识一下三角函数.如图,角α的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的垂线,垂足为M.根据三角函数定义,有:
$|MP|=|y|=|sinα|,|OM|=|x|=|cosα|.$
如图,过点A(1,0)作单位圆的切线,这条切线必然平行于y轴,设它与α的终边(当α为第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于点T.根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA,AT,有$tanα=AT=\frac {y}{x}$.把这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT分别叫作角α的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线.单位圆中的三角函数线是数形结合的有效工具,借助它,不但可以画出准确的三角函数图象,还可以讨论三角函数的性质.

答案： 无