《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

15. 定义在区间(-1,1)上的函数f(x)满足:对任意的x,y∈(-1,1)都有$f(x)+f(y)=f\left(\frac{x+y}{1+xy}\right).$
(1) 求证:函数f(x)是奇函数；
(2) 若当x∈(-1,0]时,有f(x)＞0,求证:f(x)在(-1,1)上是减函数；
(3) 在(2)的条件下,若$f\left(\frac{1}{2}\right)=-1,f(x)≤t²-2at-1$对所有$x∈\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right],a∈[-1,1]$恒成立,求实数t的取值范围.

答案：
(1) 令x=y=0，得f
(0)+f
(0)=f
(0)，即f
(0)=0。令y=-x，得f(x)+f(-x)=f
(0)=0，即f(-x)=-f(x)，所以f(x)是奇函数。
(2) 任取x₁,x₂∈(-1,1)，且x₁＜x₂。若x₁,x₂∈(-1,0]，则f(x₁)＞0,f(x₂)≥0，$f(x₁)-f(x₂)=f(x₁)+f(-x₂)=f\left(\frac{x₁-x₂}{1-x₁x₂}\right)。$因为x₁-x₂＜0,1-x₁x₂＞0，所以$\frac{x₁-x₂}{1-x₁x₂}∈(-1,0)，$则$f\left(\frac{x₁-x₂}{1-x₁x₂}\right)＞0，$即f(x₁)＞f(x₂)。若x₁∈(-1,0),x₂∈(0,1)，则f(x₁)＞0,f(x₂)=-f(-x₂)＜0，所以f(x₁)＞f(x₂)。若x₁,x₂∈(0,1)，则-x₂∈(-1,0)，$f(x₁)-f(x₂)=f(x₁)+f(-x₂)=f\left(\frac{x₁-x₂}{1-x₁x₂}\right)。$因为x₁-x₂＜0,1-x₁x₂＞0，所以$\frac{x₁-x₂}{1-x₁x₂}∈(-1,0)，$则$f\left(\frac{x₁-x₂}{1-x₁x₂}\right)＞0，$即f(x₁)＞f(x₂)。综上，f(x)在(-1,1)上是减函数。
(3) 由f(x)在(-1,1)上是减函数，$x∈\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]，$得f(x)的最大值为$f\left(-\frac{1}{2}\right)=-f\left(\frac{1}{2}\right)=1。$则1≤t²-2at-1对a∈[-1,1]恒成立，即t²-2at-2≥0对a∈[-1,1]恒成立。令g(a)=-2ta+t²-2，当t=0时，-2≥0不成立；当t＞0时，g(-1)=2t+t²-2≥0且g
(1)=-2t+t²-2≥0，解得t≥2；当t＜0时，g(-1)=2t+t²-2≥0且g
(1)=-2t+t²-2≥0，解得t≤-2。综上，t∈(-∞,-2]∪[2,+∞)。

16. 已知函数f(x)=x²+bx+c(1≤b≤2),记集合A={x|f(x)=x},B={x|f(f(x))=x}.

答案：
(1) A={0,1},B={0,1,-1,-2}
$(2) c∈\left[\frac{1}{4},2\right]$

(1) 若b=1,c=-1,求集合A与B；

答案： A={x|x²+1x-1=x}={x|x²-1=0}={-1,1}，B={x|f(f(x))=x}，f(x)=x²+x-1，f(f(x))=(x²+x-1)²+(x²+x-1)-1=x，化简得(x²+x-1)²+x²+x-2=x，即(x²+x-1)²+x²-1=0，(x²+x-1)²+(x-1)(x+1)=0，(x-1)[(x²+x-1)²/(x-1)+x+1]=0（x≠1时），解得x=1,-1,-2,0，所以B={-2,-1,0,1}。

(2) 若集合A={x₁,x₂},B={x₁,x₂,x₃,x₄},且|x₃-x₄|≤√2恒成立,求实数c的取值范围.

答案： 由A={x|x²+(b-1)x+c=0}，得Δ=(b-1)²-4c＞0，x₁+x₂=1-b，x₁x₂=c。f(f(x))-x=(f(x)-x)(f(x)+x+b+1)=0，所以x₃,x₄是方程x²+(b+1)x+c+1=0的根。|x₃-x₄|=√[(x₃+x₄)²-4x₃x₄]=√[(b+1)²-4(c+1)]≤√2，即(b+1)²-4(c+1)≤2，$c≥\frac{(b+1)²}{4}-\frac{3}{2}。$因为1≤b≤2，所以$\frac{(1+1)²}{4}-\frac{3}{2}=\frac{4}{4}-\frac{3}{2}=1-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}，$$\frac{(2+1)²}{4}-\frac{3}{2}=\frac{9}{4}-\frac{3}{2}=\frac{3}{4}，$又Δ=(b-1)²-4c＞0，c＜\frac{(b-1)²}{4}≤\frac{(2-1)²}{4}=\frac{1}{4}，综上$c∈\left[\frac{1}{4},2\right]。$