《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

14. 已知集合A={x|a≤x≤a+2}，B={x|x＜-1或x＞5}，全集U=R．
（1）若a=1，求(∁U A)∪B；
（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．

答案： （1）(-∞，1)∪(3，+∞)
解析：a=1时，A=[1，3]，∁U A=(-∞，1)∪(3，+∞)，(∁U A)∪B=(-∞，1)∪(3，+∞)。
（2）(-∞，-3)∪(5，+∞)
解析：A⊆B⇒a+2＜-1或a＞5⇒a＜-3或a＞5。

15. 已知集合A={x|a-1＜x＜2a+3}，B={x|-2≤x≤4}．
（1）当a=2时，求A∪B；
（2）在①A∩B=A，②A∩(∁R B)=A，③A∩B=∅这三个条件中任选一个，补充到问题中并求解：若 ，求实数a的取值范围．

答案： （1）(-1，7)
解析：a=2时，A=(1，7)，A∪B=[-2，7)。
（2）若选①：(-∞，-4]∪[2，1/2]
解析：A∩B=A⇒A⊆B。A=∅时，a-1≥2a+3⇒a≤-4；A≠∅时，a-1≥-2且2a+3≤4⇒-1≤a≤1/2，综上a≤-4或-1≤a≤1/2。

16. 对正整数n，记Iₙ={1，2，3，…，n}，Pₙ={m/√k |m∈Iₙ，k∈Iₙ}．
（1）用列举法表示集合P₃；
（2）求集合P₇中元素的个数；
（3）若集合A中任意两个元素之和都不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．已知集合Pₙ能分成两个不相交的稀疏集的并集，求n的最大值．

答案： （1）{1，2，3，1/√2，√2，3/√2，1/√3，√3，3/√3}
解析：I₃={1，2，3}，P₃={1/1，2/1，3/1，1/√2，2/√2，3/√2，1/√3，2/√3，3/√3}。
（2）47
解析：P₇中m，k∈I₇，共7×7=49个，重复2个，49-2=47。
（3）14
解析：n=14时可分，n=15时存在元素和为25=5²，故最大值14。