《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

1. 将$\frac{1}{\sqrt[5]{a²}}$(a＞0)化为分数指数幂为（ ）
A. $a^{\frac{2}{5}}$ B. $a^{-\frac{2}{5}}$ C. $a^{\frac{5}{2}}$ D. $a^{-\frac{5}{2}}$

答案： B
解析：$\frac{1}{\sqrt[5]{a²}}=a^{-\frac{2}{5}}$。

2. 设a＞0，m,n是正整数，且n＞1，则下列各式：$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$,$a^0=1$,$a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$中正确的个数是（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

答案： A
解析：三个式子均为分数指数幂的定义，正确。

3. 化简(-x)²$\sqrt{-\frac{1}{x}}$的结果是（ ）
A. $\sqrt{x}$ B. $-x\sqrt{-x}$ C. $x\sqrt{x}$ D. $x\sqrt{-x}$

答案： D
解析：由$-\frac{1}{x}\geq0\Rightarrow x＜0$，(-x)²=x²，$\sqrt{-\frac{1}{x}}=\frac{\sqrt{-x}}{-x}$，原式=x²·$\frac{\sqrt{-x}}{-x}=-x\sqrt{-x}$（原解析有误，正确：x＜0，(-x)²=x²，$\sqrt{-\frac{1}{x}}=\sqrt{\frac{-1}{x}}=\frac{\sqrt{-x}}{|x|}=\frac{\sqrt{-x}}{-x}$，x²·$\frac{\sqrt{-x}}{-x}=-x\sqrt{-x}$，答案B）。

4. 若x₁,x₂是4^x-1-2^x+1+1=0的两个根，则x₁+x₂等于（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16

答案： A
解析：设t=2^x＞0，方程为$\frac{t²}{4}-2t+1=0\Rightarrow t²-8t+4=0$，t₁t₂=4，2^x₁·2^x₂=4$\Rightarrow$x₁+x₂=2。

5. （多选）已知2^a=3^b=6，则a,b不可能满足的关系是（ ）
A. a+b＞4 B. ab＜4 C. (a-1)²+(b-1)²＞2 D. a²+b²＜8

答案： BD
解析：a=log₂6=1+log₂3,b=log₃6=1+log₃2，ab=(1+log₂3)(1+log₃2)=2+log₂3+log₃2＞4，a+b=2+log₂3+log₃2＞4，(a-1)(b-1)=1，(a-1)²+(b-1)²≥2，a²+b²=(1+log₂3)²+(1+log₃2)²＞8，故BD不可能。

6. 若代数式$\sqrt{2x-1}+\sqrt{2-x}$有意义，则$\sqrt{4x²-4x+1}+2\sqrt[4]{(x-2)^4}$=___.

答案： 3
解析：由$\frac{1}{2}\leq x\leq2$，$\sqrt{4x²-4x+1}=2x-1$，$2\sqrt[4]{(x-2)^4}=2(2-x)$，原式=2x-1+4-2x=3。

7. 已知x²-5x+1=0，则x²+$\frac{1}{x²}$=___.

答案： 23
解析：x+$\frac{1}{x}=5$，x²+$\frac{1}{x²}=(x+\frac{1}{x})²-2=25-2=23$。

8. 已知a,b是方程x²-6x+1=0的两个根，且a＞b＞0，求$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$的值。

答案： $\frac{\sqrt{2}}{2}$
解析：a+b=6,ab=1，$(\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}})^2=\frac{a+b-2\sqrt{ab}}{a+b+2\sqrt{ab}}=\frac{6-2}{6+2}=\frac{1}{2}$，由a＞b＞0，得$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。