《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

9. （多选）若“$x^2 + 2x - 8=0$”是“$ax + 2=0$”的必要条件，则实数$a$的值为（ ）
A. 2
B. $\frac{1}{2}$
C. -1
D. -4

答案： AC
解析：解方程$x^2 + 2x - 8=0$，得$x=2$或$x=-4$。因为“$x^2 + 2x - 8=0$”是“$ax + 2=0$”的必要条件，所以“$ax + 2=0$”的解一定是$x=2$或$x=-4$。当$ax + 2=0$有解时，$x=-\frac{2}{a}$。若$-\frac{2}{a}=2$，则$a=-1$；若$-\frac{2}{a}=-4$，则$a=\frac{1}{2}$。当$a=0$时，方程$ax + 2=0$无解，此时“$ax + 2=0$”的解集是空集，空集是任何集合的子集，也满足必要条件，但选项中无$a=0$，所以选AC。

10. 设$a,b\in\mathbf{R}$，从①$ab=0$，②$a + b=0$，③$a(a^2 + b^2)=0$，④$ab＞0$中选出适合的条件填空：（填序号）
（1）“$a,b$都为0”的必要条件是______；
（2）“$a,b$都不为0”的充分条件是______；
（3）“$a,b$至少有一个为0”的充要条件是______.

答案： （1）①②③；（2）④；（3）①
解析：（1）若$a,b$都为0，则①$ab=0$成立，②$a + b=0$成立，③$a(a^2 + b^2)=0$成立，所以必要条件是①②③；
（2）若④$ab＞0$，则$a,b$同号且都不为0，所以“$a,b$都不为0”的充分条件是④；
（3）“$a,b$至少有一个为0”等价于$ab=0$，所以充要条件是①。

11. 求“方程$ax^2 + 4x + 4=0$只有负实根”的充要条件.

答案： 当$a=0$时，方程为$4x + 4=0$，解得$x=-1$，符合只有负实根。
当$a\neq0$时，方程为一元二次方程，若只有负实根，则需满足：
$\Delta=16 - 16a\geqslant0$，即$a\leqslant1$；
$x_1 + x_2=-\frac{4}{a}＜0$，即$a＞0$；
$x_1x_2=\frac{4}{a}＞0$，即$a＞0$。
综上，$0＜a\leqslant1$。
所以方程只有负实根的充要条件是$0\leqslant a\leqslant1$。

12. 设$M=\{x|x＜-2$或$x＞4\}$，$N=\{x|-a\leqslant x\leqslant7\}$，命题$p$：$x\in M$，命题$q$：$x\in N$。
（1）当$a=-6$时，判断命题$p$是命题$q$的什么条件；
（2）若命题$p$是命题$q$的必要条件，求$a$的取值范围.

答案： （1）当$a=-6$时，$N=\{x|6\leqslant x\leqslant7\}$。因为$N\subseteq M$，所以$x\in N\Rightarrow x\in M$，但$x\in M\nRightarrow x\in N$，所以$p$是$q$的必要不充分条件。
（2）因为$p$是$q$的必要条件，所以$N\subseteq M$。若$N=\varnothing$，则$-a＞7$，即$a＜-7$；若$N\neq\varnothing$，则$7＜-2$（无解）或$-a＞4$，即$a＜-4$，综上，$a＜-4$。