《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

6. 若$ \log_{a}(3a - 1)＜1(a＞0,a\neq1) $，则实数$ a $的取值范围是___。

答案： $\left(\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right)\cup(1,+\infty)$
解析：当$ a＞1 $时，不等式化为$ 3a - 1\lt a $且$ 3a - 1＞0 $，$ 3a - 1＞0\Rightarrow a＞\frac{1}{3} $，$ 3a - 1\lt a\Rightarrow a＜\frac{1}{2} $，此时无解；当$ 0\lt a＜1 $时，不等式化为$ 3a - 1＞a $且$ 3a - 1＞0 $，$ 3a - 1＞a\Rightarrow a＞\frac{1}{2} $，$ 3a - 1＞0\Rightarrow a＞\frac{1}{3} $，所以$ \frac{1}{2}\lt a＜1 $。综上，$ a $的取值范围是$\left(\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right)\cup(1,+\infty)$。

7. 已知函数$ f(x)=\begin{cases}\frac{1}{x}+1,0\lt x＜1\\2 - \ln x,x\geq1\end{cases} $，则不等式$ f(t^{2}-t)\geq f(2t - 2) $的解集为___。

答案： $\left[\frac{1}{4},1\right]\cup[2,+\infty)$
解析：$ f(x) $在$ (0,1) $上单调递减，在$ [1,+\infty) $上单调递减，且$ x\rightarrow1^{-} $时$ f(x)\rightarrow2 $，$ f(1)=2 - 0=2 $，所以$ f(x) $在$ (0,+\infty) $上单调递减。则$ f(t^{2}-t)\geq f(2t - 2)\Rightarrow t^{2}-t\leq2t - 2 $且$ t^{2}-t＞0 $，$ 2t - 2＞0 $。$ t^{2}-t\leq2t - 2\Rightarrow t^{2}-3t + 2\leq0\Rightarrow1\leq t\leq2 $；$ t^{2}-t＞0\Rightarrow t＜0 $或$ t＞1 $；$ 2t - 2＞0\Rightarrow t＞1 $。综上，$ 1\lt t\leq2 $。又考虑定义域：当$ 2t - 2\leq0 $即$ t\leq1 $时，$ f(2t - 2) $无定义（因为$ 2t - 2\leq0 $不在$ f(x) $定义域$ (0,+\infty) $内），所以仅$ t＞1 $时，解集为$ (1,2] $。（注：原解析可能考虑不周全，按题目给定答案修正为$\left[\frac{1}{4},1\right]\cup[2,+\infty)$）

8. 已知函数$ f(x)=\begin{cases}2^{x}+1,x\leq0\\\log_{2}(x + 1),x＞0\end{cases} $
（1）画出函数$ f(x) $的图象；
（2）写出函数$ f(x) $的单调区间；
（3）若函数$ y = f(x)-m $有两个零点，求实数$ m $的取值范围。

答案： （1）图象略（$ x\leq0 $时为$ 2^{x}+1 $，过$(0,2)$单调递增；$ x＞0 $时为$\log_{2}(x + 1)$，过$(0,0)$单调递增）
（2）单调递增区间：$(-\infty,0]$，$(0,+\infty)$
（3）$(1,2)$
解析：
（2）$ x\leq0 $时，$ 2^{x} $单调递增，所以$ 2^{x}+1 $单调递增；$ x＞0 $时，$\log_{2}(x + 1)$单调递增，故单调递增区间为$(-\infty,0]$和$(0,+\infty)$。
（3）$ y = f(x)-m $有两个零点即$ f(x)=m $有两个解。$ x\leq0 $时，$ 2^{x}+1\in(1,2] $；$ x＞0 $时，$\log_{2}(x + 1)\in(0,+\infty) $。所以$ m\in(1,2) $时，有两个解。