《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

1. 若$ a,b,c\in\mathbf{R} $,则下列命题正确的是（ ）
A. 若$ ab\neq0 $且$ a＜b $,则$ \frac{1}{a}＞\frac{1}{b} $
B. 若$ a＞b,c＞d $,则$ ac＞bd $
C. 若$ a＞b＞0 $且$ c＜0 $,则$ \frac{c}{a^{2}}＞\frac{c}{b^{2}} $
D. 若$ a＞b,c＞d $,则$ a-c＞b-d $

答案： C
解析：A项，当$ a=-1,b=1 $时，$ \frac{1}{a}=-1＜\frac{1}{b}=1 $，错误；
B项，当$ a=2,b=1,c=-1,d=-2 $时，$ ac=-2＜bd=-2 $，错误；
C项，$ a＞b＞0 \Rightarrow a^{2}＞b^{2}＞0 \Rightarrow \frac{1}{a^{2}}＜\frac{1}{b^{2}} $，又$ c＜0 $，故$ \frac{c}{a^{2}}＞\frac{c}{b^{2}} $，正确；
D项，当$ a=3,b=2,c=1,d=0 $时，$ a-c=2=b-d $，错误.

2. 设$ a,b\in\mathbf{R} $,则“$ a＜b＜0 $”是“$ \frac{1}{a}＞\frac{1}{b} $”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件

答案： A
解析：若$ a＜b＜0 $，则$ ab＞0 $，两边同除$ ab $得$ \frac{1}{b}＜\frac{1}{a} $，充分性成立；
若$ \frac{1}{a}＞\frac{1}{b} $，取$ a=1,b=-1 $，不满足$ a＜b＜0 $，必要性不成立.

3. 若$ a,b,c,d\in\mathbf{R} $,则下列推论正确的是（ ）
A. $ a＞b\Rightarrow ac＞bc $
B. $ a＞b\Rightarrow a^{2}＞b^{2} $
C. $ a＞b,c＞d\Rightarrow ac＞bd $
D. $ a＞b,c＞d\Rightarrow a-d＞b-c $

答案： D
解析：A项，当$ c=0 $时不成立；B项，当$ a=1,b=-2 $时不成立；C项，当$ a=2,b=1,c=-1,d=-2 $时不成立；D项，$ a＞b $且$ -d＞-c $，相加得$ a-d＞b-c $，正确.

4. 已知$ x=-a^{2}-2a+3,y=4-3a $,则（ ）
A. $ x＜y $
B. $ x=y $
C. $ x＞y $
D. $ x $与$ y $的大小无法判断

答案： C
解析：$ x-y=-a^{2}-2a+3-(4-3a)=-a^{2}+a-1=-(a-\frac{1}{2})^{2}-\frac{3}{4}＜0 $，故$ x＜y $. 原答案为C，修正后应为A.

5. （多选）下列命题正确的是（ ）
A. 若$ a＞b $,则$ ac^{2}＞bc^{2} $
B. 若$ a＞|b| $,则$ a^{2}＞b^{2} $
C. 若$ a＞b $,则$ a^{3}＞b^{3} $
D. 若$ |a|＞b $,则$ a^{2}＞b^{2} $

答案： BC
解析：A项，当$ c=0 $时不成立；B项，$ a＞|b|\geq0 \Rightarrow a^{2}＞b^{2} $，正确；C项，函数$ f(x)=x^{3} $单调递增，正确；D项，当$ a=1,b=-2 $时不成立.

6. 已知$ M=x^{2}+5x+6,N=2x^{2}+5x+8 $,则$ M,N $的大小关系是______.

答案： $ M＜N $
解析：$ N-M=2x^{2}+5x+8-(x^{2}+5x+6)=x^{2}+2＞0 $，故$ M＜N $.

7. 如果$ a＞b,c＞d $,那么$ a+c $______$ b+d $.（填“＞”或“＜”）

答案： ＞
解析：由不等式性质，同向不等式相加，不等号方向不变，故$ a+c＞b+d $.

8. 比较下列各组代数式的大小.
(1) $ (x+1)(x+5) $与$ (x+3)^{2} $;
(2) 当$ x＞3 $时,$ x+\frac{1}{x-2} $与4.

答案：
(1) $ (x+1)(x+5)＜(x+3)^{2} $
解析：$ (x+1)(x+5)-(x+3)^{2}=x^{2}+6x+5-(x^{2}+6x+9)=-4＜0 $.
(2) $ x+\frac{1}{x-2}＞4 $
解析：令$ t=x-2＞1 $，则$ x+\frac{1}{x-2}=t+2+\frac{1}{t} $，$ t+\frac{1}{t}＞2 $（$ t＞1 $），故原式$ ＞4 $.