《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

10. 在本章，我们学习了命题的否定的概念，知道一个命题的否定仍是一个命题，它和原先的命题只能一真一假，不能同真或同假。在数学中，有很多“若$p$，则$q$”形式的命题，有的是真命题，有的是假命题，例如：
① 若$x^2＞1$，则$2x + 1＞3$。（假命题）
② 若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等。（真命题）
这里的命题①②都是省略了量词的全称量词命题。
（1）有同学认为，①的否定是“若$x^2＞1$，则$2x + 1\leqslant3$”；②的否定是“若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线不相等”。你认为对吗？如果不对，请正确地写出命题①②的否定。
（2）请你列举几个省略了量词的全称量词命题，分别写出它们的否定，并判断其真假。

答案： （1）不对。①的否定：$\exists x\in\mathbf{R}$，使得$x^2＞1$且$2x + 1\leqslant3$；②的否定：$\exists$一个四边形为等腰梯形，它的对角线不相等。
（2）示例：命题“若$x＞0$，则$x + 1＞0$”（全称量词命题），否定：$\exists x＞0$，使得$x + 1\leqslant0$，假命题；命题“所有的正方形都是矩形”，否定：存在一个正方形不是矩形，假命题。

11. 命题“$\forall x\in\{x|1\leqslant x\leqslant2\},x^2 - a\leqslant0$”是真命题的充要条件是（ ）
A. $a\geqslant1$
B. $a＜4$
C. $a\geqslant4$
D. $a＜1$

答案： C
解析：要使$\forall x\in[1,2],x^2 - a\leqslant0$，即$a\geqslant x^2$对$x\in[1,2]$恒成立，$x^2$在$[1,2]$上的最大值为4，所以$a\geqslant4$，选C。

12. 已知真分数$\frac{a}{b}(b＞a＞0)$满足$\frac{a + 1}{b + 1}＞\frac{a}{b}$，$\frac{a + 2}{b + 2}＞\frac{a + 1}{b + 1}$，$\frac{a + 1}{b + 1}＞\frac{a + 2}{b + 2}$，…，根据上述性质，写出一个为真命题的全称量词命题或存在量词命题.

答案： 全称量词命题：对任意$b＞a＞0$且$n\in\mathbf{N}^*$，都有$\frac{a + n}{b + n}＞\frac{a}{b}$。