《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

1. 函数$ y=2023\sin x $与$ y=2024\cos x $在下列区间内同为单调递增的是（ ）
A. $ (0,\frac{\pi}{2}) $
B. $ (\frac{\pi}{2},\pi) $
C. $ (\pi,\frac{3\pi}{2}) $
D. $ (\frac{3\pi}{2},2\pi) $

答案： D
解析：$ y=\sin x $在$(\frac{3\pi}{2},2\pi)$单调递增，$ y=\cos x $在$(\frac{3\pi}{2},2\pi)$单调递增，故同为单调递增区间为$(\frac{3\pi}{2},2\pi)$。

2. 函数$ f(x)=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)+1 $图象的一个对称中心可以是（ ）
A. $ (-\frac{\pi}{6},1) $
B. $ (\frac{\pi}{12},1) $
C. $ (\frac{\pi}{3},0) $
D. $ (\frac{5\pi}{12},0) $

答案： A
解析：令$ 2x+\frac{\pi}{3}=k\pi $，$ x=\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{6} $，对称中心为$(\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{6},1)$，当$ k=0 $时，$ (-\frac{\pi}{6},1) $，故选A。

3. 已知函数$ f(x)=\sin(2x+\varphi)(0＜\varphi＜\pi) $的图象关于直线$ x=\frac{\pi}{6} $对称,则$ \varphi $的值为（ ）
A. $ \frac{\pi}{12} $
B. $ \frac{\pi}{6} $
C. $ \frac{\pi}{3} $
D. $ \frac{2\pi}{3} $

答案： C
解析：$ f(\frac{\pi}{6})=\pm1 $，$ 2×\frac{\pi}{6}+\varphi=\frac{\pi}{2}+k\pi $，$ \varphi=\frac{\pi}{6}+k\pi $，$ 0＜\varphi＜\pi $，$ k=0 $时，$ \varphi=\frac{\pi}{6} $；$ k=1 $时，$ \varphi=\frac{7\pi}{6} $（舍去），故$ \varphi=\frac{\pi}{6} $，原答案C可能有误，应为B。

4. 已知函数$ f(x)=\sin|x| $,则$ f(x) $（ ）
A. 在区间$[\frac{2\pi}{3},\frac{7\pi}{6}]$上是单调递减的
B. 是周期为$ 2\pi $的周期函数
C. 在区间$[-\frac{\pi}{2},0]$上是单调递增的
D. 对称中心为$(k\pi,0),k\in\mathbf{Z}$

答案： C
解析：$ f(x)=\sin|x| $是偶函数，不是周期函数，在$[0,\frac{\pi}{2}]$递增，$[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]$递减，在$[-\frac{\pi}{2},0]$上，$ f(x)=\sin(-x)=-\sin x $，单调递增，故选C。

5. （多选）已知函数$ f(x)=2\cos\left(2x+\frac{2\pi}{3}\right)+1 $,下列说法正确的是（ ）
A. 对任意的$ x\in\mathbf{R} $,有$ f(x)=f(x-\pi) $
B. 对任意的$ x\in\mathbf{R} $,有$ f(\frac{\pi}{3}+x)=f(\frac{\pi}{3}-x) $
C. 对任意的$-\frac{\pi}{3}＜x_{1}＜x_{2}＜\frac{\pi}{6}$,$ f(x_{1})＞f(x_{2}) $
D. 存在$ x_{1},x_{2}\in\mathbf{R} $,使得$ f(x_{1})-f(x_{2})=4 $

答案： ACD
解析：A：周期$ T=\pi $，$ f(x-\pi)=f(x) $，正确；B：对称轴$ 2x+\frac{2\pi}{3}=k\pi $，$ x=-\frac{\pi}{3}+\frac{k\pi}{2} $，$ x=\frac{\pi}{3} $不是对称轴，错误；C：在$(-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6})$，$ 2x+\frac{2\pi}{3}\in(0,\pi) $，$ \cos t $递减，$ f(x) $递减，正确；D：最大值3，最小值-1，差4，正确。

6. 定义在$\mathbf{R}$上的非常数函数$ f(x) $满足:$ f(-x)=f(x) $,且$ f(2-x)+f(x)=0 $,写出符合条件的一个函数的表达式:$ f(x)= $______.

答案： $\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)$
解析：$ f(-x)=f(x) $为偶函数，$ f(2-x)=-f(x) $，$ f(4-x)=-f(2-x)=f(x) $，周期4，例如$ f(x)=\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) $。

7. 已知函数$ f(x)=\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right) $,若对任意的$ x\in\mathbf{R} $都有$ f(x)\leqslant f(x_{0}) $成立,则$ x_{0} $的值为______.

答案： $\frac{3\pi}{8}+k\pi(k\in\mathbf{Z})$
解析：$ f(x) $最大值为1，$ 2x_{0}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2k\pi $，$ x_{0}=\frac{3\pi}{8}+k\pi $。