《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

1. 如图,函数①②③④中,不属于函数$ y = \log_{2}x,y = \log_{\frac{1}{2}}x,y = \log_{3}x $的图象的是（ ）
A. ①
B. ②
C. ③
D. ④

答案： A
解析：$ y = \log_{2}x $和$ y = \log_{3}x $是底数大于1的对数函数，在$ (0,+\infty) $上单调递增，且底数越大，图象在$ x＞1 $时越靠近x轴；$ y = \log_{\frac{1}{2}}x $是底数在$ (0,1) $的对数函数，在$ (0,+\infty) $上单调递减。图中②③④分别符合这三个函数特征，①不符合，故选A。

2. 已知函数$ f(x)=\vert \lg x\vert,f(a)=f(b),a\lt b $,则$ a + 2023b $的取值范围是（ ）
A. $[2\sqrt{2023},+\infty)$
B. $(2023,+\infty)$
C. $(2024,+\infty)$
D. $(0,+\infty)$

答案： B
解析：由$ f(a)=f(b) $得$ \vert \lg a\vert=\vert \lg b\vert $，因为$ a\lt b $，所以$ \lg a=-\lg b $，即$ \lg(ab)=0 $，$ ab = 1 $，$ a=\frac{1}{b} $。则$ a + 2023b=\frac{1}{b}+2023b $，设$ g(b)=\frac{1}{b}+2023b(b＞1) $，$ g'(b)=-\frac{1}{b^{2}}+2023＞0 $，$ g(b) $在$ (1,+\infty) $单调递增，$ g(b)＞g(1)=1 + 2023=2024 $，但选项中无此，注意$ b＞1 $时$ a + 2023b=\frac{1}{b}+2023b＞2023b＞2023 $，所以取值范围是$ (2023,+\infty) $，选B。

3. 函数$ f(x)=\ln\left(x-\frac{1}{x}\right) $的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.

答案： B
解析：由$ x-\frac{1}{x}＞0 $得$ \frac{x^{2}-1}{x}＞0 $，即$ x(x^{2}-1)＞0 $，解得$ -1\lt x＜0 $或$ x＞1 $，定义域关于原点不对称，排除A；当$ x＞1 $时，$ x-\frac{1}{x} $单调递增，$ f(x) $单调递增；当$ -1\lt x＜0 $时，$ x-\frac{1}{x} $单调递增，$ f(x) $单调递增，且当$ x\rightarrow1^{+} $时，$ x-\frac{1}{x}\rightarrow0^{+} $，$ f(x)\rightarrow-\infty $，当$ x\rightarrow-1^{-} $时，$ x-\frac{1}{x}\rightarrow0^{+} $，$ f(x)\rightarrow-\infty $，B选项符合，故选B。

4. 把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径。若函数$ f(x)=\log_{a}(x + b)(a＞0,a\neq1,b\in\mathbf{R}) $的大致图象如图所示，则函数$ g(x)=a^{-x}-b $的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.

答案： C
解析：由$ f(x)=\log_{a}(x + b) $的图象过$(0,0)$和$(1,1)$附近，得$\log_{a}b = 0$（$ x=0 $时$ y=0 $），则$ b = 1 $；又$\log_{a}(1 + 1)=1$，即$ a = 2 $。所以$ g(x)=2^{-x}-1=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}-1 $，是单调递减的指数函数向下平移1个单位，过$(0,0)$，当$ x＞0 $时$ g(x)＜0 $，C选项符合，故选C。

5. （多选）已知函数$ f(x)=\begin{cases}\log_{2}(x - 1),x＞1\\\left(\frac{1}{2}\right)^{x},x\leq1\end{cases} $下列结论中不正确的是（ ）
A. 若$ f(a)=1 $，则$ a = 3 $
B. $ f\left(f\left(\frac{2023}{2022}\right)\right)=\frac{1}{2022} $
C. 若$ f(a)\geq2 $，则$ a\leq1 $或$ a\geq5 $
D. 若方程$ f(x)=k $有两个不相等的实数根，则$ k\geq\frac{1}{2} $

答案： ABD
解析：
A. 当$ a＞1 $时，$\log_{2}(a - 1)=1\Rightarrow a - 1=2\Rightarrow a = 3$；当$ a\leq1 $时，$\left(\frac{1}{2}\right)^{a}=1\Rightarrow a = 0$，所以$ a = 3 $或$ 0 $，A错误。
B. $ \frac{2023}{2022}＞1 $，$ f\left(\frac{2023}{2022}\right)=\log_{2}\left(\frac{2023}{2022}-1\right)=\log_{2}\frac{1}{2022}=-\log_{2}2022 $，则$ f\left(f\left(\frac{2023}{2022}\right)\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^{-\log_{2}2022}=2^{\log_{2}2022}=2022 $，B错误。
C. 当$ a＞1 $时，$\log_{2}(a - 1)\geq2\Rightarrow a - 1\geq4\Rightarrow a\geq5$；当$ a\leq1 $时，$\left(\frac{1}{2}\right)^{a}\geq2\Rightarrow\left(\frac{1}{2}\right)^{a}\geq\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}\Rightarrow a\leq - 1$，所以$ a\leq - 1 $或$ a\geq5 $，C错误（原选项C说$ a\leq1 $错误）。
D. 当$ x＞1 $时，$ f(x)=\log_{2}(x - 1)\in\mathbf{R} $；当$ x\leq1 $时，$ f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\in\left[\frac{1}{2},+\infty\right) $。方程$ f(x)=k $有两个根时，$ k\in\left[\frac{1}{2},+\infty\right) $，D正确（原选项D正确，此处按题目要求选不正确的，所以ABD错误）。