《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

1. 计算$ \sin\frac{14\pi}{3} $的结果是（ ）
A. $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $
B. $ -\frac{1}{2} $
C. $ \frac{1}{2} $
D. $ \frac{\sqrt{3}}{2} $

答案： A
解析：$ \frac{14\pi}{3}=4\pi+\frac{2\pi}{3} $，$ \sin\frac{14\pi}{3}=\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2} $（原解析错误，修正后答案应为D）

2. 若$ \sin(\theta+\pi)＜0 $，$ \cos(\theta-\pi)＞0 $，则角$ \theta $的终边在（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

答案： B
解析：$ \sin(\theta+\pi)=-\sin\theta＜0\Rightarrow\sin\theta＞0 $，$ \cos(\theta-\pi)=-\cos\theta＞0\Rightarrow\cos\theta＜0 $，故$ \theta $在第二象限.

3. 已知$ \sin\left( \alpha+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{3} $，则$ \sin\left( \alpha-\frac{2\pi}{3}\right) $的值是（ ）
A. $ \frac{1}{3} $
B. $ -\frac{1}{3} $
C. $ \frac{2\sqrt{3}}{3} $
D. $ -\frac{2\sqrt{3}}{3} $

答案： B
解析：$ \alpha-\frac{2\pi}{3}=(\alpha+\frac{\pi}{3})-\pi $，$ \sin\left( \alpha-\frac{2\pi}{3}\right)=-\sin\left( \alpha+\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{1}{3} $.

4. 化简$ \sqrt{1 + 2\sin(\pi - 2)\cdot\cos(\pi - 2)} $的结果是（ ）
A. $ \sin2+\cos2 $
B. $ \cos2 - \sin2 $
C. $ \sin2 - \cos2 $
D. $ \pm(\cos2 - \sin2) $

答案： C
解析：$ 1 + 2\sin(\pi - 2)\cos(\pi - 2)=1 - 2\sin2\cos2=(\sin2 - \cos2)^{2} $，$ 2\in(\frac{\pi}{2},\pi) $，$ \sin2＞0 $，$ \cos2＜0 $，故原式$ =\sin2 - \cos2 $.

5. （多选）若角$ \alpha,\beta $的终边关于$ y $轴对称，则下列等式成立的是（ ）
A. $ \sin\alpha=\sin\beta $
B. $ \cos\alpha=-\cos\beta $
C. $ \cos\alpha=\cos\beta $
D. $ \sin\alpha=-\sin\beta $

答案： AB
解析：由对称性知$ \beta=\pi - \alpha + 2k\pi $，$ \sin\beta=\sin\alpha $，$ \cos\beta=-\cos\alpha $.

6. 已知$ f(x)=a\sin(\pi x+\alpha)+b\cos(\pi x+\beta)+2 $，其中$ a,b,\alpha,\beta $为常数.若$ f(2)=1 $，则$ f(2024)= $________.

答案： 3
解析：$ f(2)=a\sin(2\pi+\alpha)+b\cos(2\pi+\beta)+2=a\sin\alpha + b\cos\beta + 2=1\Rightarrow a\sin\alpha + b\cos\beta=-1 $
$ f(2024)=a\sin(2024\pi+\alpha)+b\cos(2024\pi+\beta)+2=a\sin\alpha + b\cos\beta + 2=1 + 2=3 $.

7. 欧拉公式$ e^{ix}=\cos x + i\sin x $（$ i $是虚数单位）是由著名数学家欧拉发现的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数域，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数字中的天桥”.根据欧拉公式可知，$ e^{2024\pi i}= $________.

答案： 1
解析：$ e^{2024\pi i}=\cos2024\pi + i\sin2024\pi=1 + 0i=1 $.

8. 求下列各式的值：
（1）$ \cos\frac{25\pi}{3}+\tan\left( -\frac{15\pi}{4}\right) $；
（2）$ \sin810^{\circ}+\tan765^{\circ}+\tan1125^{\circ}+\cos360^{\circ} $.

答案： （1）$ \frac{3}{2} $
解析：$ \cos\frac{25\pi}{3}=\cos\left( 8\pi+\frac{\pi}{3}\right)=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2} $，$ \tan\left( -\frac{15\pi}{4}\right)=\tan\left( -\4\pi+\frac{\pi}{4}\right)=\tan\frac{\pi}{4}=1 $，原式$ =\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2} $.
（2）4
解析：$ \sin810^{\circ}=\sin90^{\circ}=1 $，$ \tan765^{\circ}=\tan45^{\circ}=1 $，$ \tan1125^{\circ}=\tan45^{\circ}=1 $，$ \cos360^{\circ}=1 $，原式$ =1 + 1 + 1 + 1=4 $.