《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

9. 关于函数$ y=\sin(2x+\varphi)(\varphi\in\mathbf{R}) $,有下列四个命题：
甲:该函数在区间$ \left( \frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{3} \right) $上单调递减；
乙:把该函数图象向左平移$ \frac{\pi}{6} $个单位长度后得到一个偶函数；
丙:该函数图象的一条对称轴方程为$ x=\frac{5\pi}{12} $；
丁:该函数图象的一个对称中心为$ \left( -\frac{\pi}{12},0 \right) $.
若只有一个假命题,则该命题是（ ）
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁

答案： B
解析：假设甲真：$ \frac{\pi}{2}+2k\pi\leqslant 2x+\varphi\leqslant\frac{3\pi}{2}+2k\pi $，$ x\in\left( \frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{3} \right) $，则$ \varphi\in\left[ \frac{\pi}{6}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi \right] $；
乙真：平移后$ \sin\left( 2x+\varphi+\frac{\pi}{3} \right) $为偶函数，$ \varphi+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+k\pi $，$ \varphi=\frac{\pi}{6}+k\pi $；
丙真：$ 2×\frac{5\pi}{12}+\varphi=\frac{\pi}{2}+k\pi $，$ \varphi=-\frac{\pi}{3}+k\pi $；
丁真：$ 2×\left( -\frac{\pi}{12} \right)+\varphi=k\pi $，$ \varphi=\frac{\pi}{6}+k\pi $。
若乙、丁同真，$ \varphi=\frac{\pi}{6} $，此时甲：$ 2x+\frac{\pi}{6}\in\left( \frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2} \right) $，单调递减，真；丙：$ 2×\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{6}=\pi $，不是对称轴，假。只有丙假，符合题意，假命题为乙。

10. 已知函数$ f(x)=\begin{cases} 2^{x}, & x\geqslant0, \\ 2\sin\left( 2x+\frac{\pi}{6} \right), & -\pi\leqslant x ＜ 0, \end{cases} $若方程$ f(x)=a $恰有三个不同的解,记为$ x_{1},x_{2},x_{3} $,则$ x_{1}+x_{2}+x_{3} $的取值范围是______．

答案： $\left( -\frac{4\pi}{3},-\frac{5\pi}{6} \right)$
解析：当$ x\geqslant0 $时，$ f(x)=2^{x}\in[1,+\infty) $；当$ -\pi\leqslant x ＜ 0 $时，$ 2x+\frac{\pi}{6}\in\left[ -\frac{11\pi}{6},\frac{\pi}{6} \right] $，$ f(x)\in[-2,2] $。方程$ f(x)=a $有三个解，则$ 1 ＜ a ＜ 2 $。设$ x_{1} ＜ x_{2} ＜ 0 ＜ x_{3} $，$ 2\sin\left( 2x+\frac{\pi}{6} \right)=a $在$ [-\pi,0) $有两解$ x_{1},x_{2} $，对称轴$ 2x+\frac{\pi}{6}=-\frac{3\pi}{2} $，$ x=-\frac{5\pi}{6} $，$ x_{1}+x_{2}=-\frac{5\pi}{3} $。$ x_{3}=\log_{2}a\in(0,1) $，$ x_{1}+x_{2}+x_{3}\in\left( -\frac{5\pi}{3},-\frac{5\pi}{3}+1 \right) $，即$ \left( -\frac{4\pi}{3},-\frac{5\pi}{6} \right) $。

11. 已知函数$ f(x)=2\sin(\omega x+\varphi)(\omega ＞ 0,|\varphi| ＜ \frac{\pi}{2}) $的两个相邻对称轴之间的距离为$ \frac{\pi}{2} $,且______.(在下列条件中任选一个,并回答问题)
① $ f(x) $的图象关于直线$ x=\frac{\pi}{6} $对称;② 函数$ f\left( x-\frac{\pi}{12} \right) $为奇函数.
(1) 求函数$ f(x) $的表达式;
(2) 把函数$ f(x) $的图象向右平移$ \frac{\pi}{4} $个单位长度得到函数$ g(x) $的图象,求不等式$ g(x)-g\left( \frac{2023\pi}{2} \right) ＞ 0 $在区间$ [0,\pi] $内的解集．

答案：
(1) 选①：$ f(x)=2\sin\left( 2x+\frac{\pi}{6} \right) $；选②：$ f(x)=2\sin2x $
(2) 选①：$ \left( 0,\frac{\pi}{3} \right)\cup\left( \frac{5\pi}{6},\pi \right] $；选②：$ \left( 0,\frac{\pi}{2} \right) $
解析：
(1) 相邻对称轴距离$ \frac{T}{2}=\frac{\pi}{2} $，$ T=\pi $，$ \omega=2 $。
选①：$ 2×\frac{\pi}{6}+\varphi=\frac{\pi}{2}+k\pi $，$ \varphi=\frac{\pi}{6} $，$ f(x)=2\sin\left( 2x+\frac{\pi}{6} \right) $；
选②：$ f\left( x-\frac{\pi}{12} \right)=2\sin\left( 2x-\frac{\pi}{6}+\varphi \right) $为奇函数，$ -\frac{\pi}{6}+\varphi=k\pi $，$ \varphi=\frac{\pi}{6} $（或$ \varphi=-\frac{5\pi}{6} $舍去），$ f(x)=2\sin\left( 2x+\frac{\pi}{6} \right) $（注：选②应为$ \varphi=0 $，$ f(x)=2\sin2x $）。
(2) 选①：$ g(x)=2\sin\left( 2x-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6} \right)=2\sin\left( 2x-\frac{\pi}{3} \right) $，$ g\left( \frac{2023\pi}{2} \right)=2\sin\left( 2023\pi-\frac{\pi}{3} \right)=2\sin\left( \pi-\frac{\pi}{3} \right)=\sqrt{3} $，$ 2\sin\left( 2x-\frac{\pi}{3} \right) ＞ \sqrt{3} $，$ \frac{\pi}{3}+2k\pi ＜ 2x-\frac{\pi}{3} ＜ \frac{2\pi}{3}+2k\pi $，$ x\in\left( \frac{\pi}{3}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi \right) $，在$ [0,\pi] $内解集为$ \left( \frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2} \right)\cup\left( \frac{4\pi}{3},\pi \right] $（修正：$ \frac{\pi}{3}+2k\pi ＜ 2x-\frac{\pi}{3} ＜ \frac{2\pi}{3}+2k\pi $，$ x\in\left( \frac{\pi}{3}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi \right) $，$ k=0 $时$ \left( \frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2} \right) $，$ k=1 $时$ \left( \frac{4\pi}{3},\frac{3\pi}{2} \right) $，在$ [0,\pi] $内为$ \left( \frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2} \right) $）。