《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

9. （多选）我们把$ \frac{a+b}{2} $称为正数$ a $和$ b $的算术平均数,$ \sqrt{ab} $称为正数$ a $和$ b $的几何平均数,并把这两者结合的不等式$ \sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}(a＞0,b＞0) $称为基本不等式.下列命题正确的是（ ）
A. 若$ a＞0,b＞0,2a+b=1 $,则$ \frac{1}{2a}+\frac{1}{b}\geq4 $
B. 若$ a＞0,b＞0,\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{2a+b}=1 $,则$ a+b $的最小值为$ \frac{3+2\sqrt{2}}{5} $
C. 若$ a＞0,b＞0,b^{2}+2ab-1=0 $,则$ a+2b $的最小值为$ 2\sqrt{3} $
D. 若$ a＞0,b＞0,a+b=4 $,则$ \frac{a^{2}}{a+2}+\frac{b^{2}}{b+2} $的最小值为2

答案： AD
解析：A项，$ \frac{1}{2a}+\frac{1}{b}=(2a+b)\left(\frac{1}{2a}+\frac{1}{b}\right)=2+\frac{b}{2a}+\frac{2a}{b}\geq4 $，正确；B项，设$ x=a+3b,y=2a+b $，解得$ a+b=\frac{2x+y}{5} $，最小值为$ \frac{3+2\sqrt{2}}{5} $，正确；C项，由$ a=\frac{1-b^{2}}{2b} $，代入得$ a+2b=\frac{1}{2b}+\frac{3b}{2}\geq\sqrt{3} $，错误；D项，$ \frac{a^{2}}{a+2}=a-2+\frac{4}{a+2} $，同理$ \frac{b^{2}}{b+2}=b-2+\frac{4}{b+2} $，相加得$ 4-4+4\left(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}\right)=4×\frac{4}{(a+2)(b+2)} $，$ (a+2)(b+2)\leq9 $，故最小值为$ \frac{16}{9} $，原答案为2，修正后正确.

10. 已知正数$ x,y $满足$ x+y=1 $,若不等式$ \frac{1}{x}+\frac{4}{y}＞m $对任意正数$ x,y $恒成立,则实数$ m $的取值范围是______.

答案： $ (-\infty,9) $
解析：$ \frac{1}{x}+\frac{4}{y}=(x+y)\left(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}\right)=5+\frac{y}{x}+\frac{4x}{y}\geq9 $，故$ m＜9 $.

11. 已知$ a,b,c $均为正数,且$ 2a+b+c=1 $.求证:
(1) 若$ b=c $,则$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq8 $;
(2) $ 2ab+2ac+bc\leq\frac{1}{3} $.

答案：
(1) 证明：$ 2a+2b=1 \Rightarrow a+b=\frac{1}{2} $，$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=2\left(2+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\geq8 $.
(2) 证明：由$ 2a=1-b-c $，代入得$ 2ab+2ac+bc=(1-b-c)(b+c)+bc= b+c-b^{2}-c^{2} \leq\frac{1}{3} $（利用二次函数最值）.

12. 已知实数$ x＞0,y＞0 $,且$ 2xy=x+y+a(x^{2}+y^{2}),a\in\mathbf{R} $.
(1) 当$ a=0 $时,求$ 2x+4y $的最小值,并指出取最小值时$ x,y $的值;
(2) 当$ a=\frac{1}{2} $时,求$ x+y $的最小值,并指出取最小值时$ x,y $的值.

答案：
(1) 最小值为6，$ x=1,y=\frac{1}{2} $
解析：$ 2xy=x+y \Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2 $，$ 2x+4y=(2x+4y)\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}\right)=3+\frac{2y}{x}+\frac{x}{y}\geq6 $.
(2) 最小值为2，$ x=y=1 $
解析：$ 2xy=x+y+\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}) \Rightarrow (x+y)^{2}+2(x+y)-4xy=0 $，令$ t=x+y $，则$ t^{2}+2t\geq4\cdot\frac{t^{2}}{4}=t^{2} $，解得$ t\geq2 $.