《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

8. 已知二次函数$f(x)=ax^{2}+bx+c(a\neq0)$，$f(x+1)-f(x)=2x$，且$f(0)=1$.求：
（1）函数$f(x)$的表达式；
（2）函数$f(x)$在区间$[-1,1]$上的值域.

答案： （1）$f(x)=x^{2}-x+1$；（2）$\left[\frac{3}{4},3\right]$
解析：
（1）由$f(0)=c=1$，$f(x+1)-f(x)=2ax+a+b=2x$，得$a=1$，$b=-1$，所以$f(x)=x^{2}-x+1$。
（2）对称轴$x=\frac{1}{2}\in[-1,1]$，$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4}$，$f(-1)=3$，值域为$\left[\frac{3}{4},3\right]$。

9. 用$\max\{a,b\}$表示$a,b$中的最大值.若$f(x)=\max\{|x|,2-x^{2}\}$，则$f(x)$的最小值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

答案： B
解析：令$|x|=2-x^{2}$，解得$x=\pm1$，此时$f(x)=1$，当$|x|＜1$时，$2-x^{2}＞1$；当$|x|＞1$时，$|x|＞1$，所以最小值为1。

10. 已知二次函数$f(x)$满足$f(2x)+f(x-1)=10x^{2}-7x+5$，则$f(f(1))=$______.

答案： 3
解析：设$f(x)=ax^{2}+bx+c$，代入解得$a=3$，$b=-1$，$c=1$，$f(1)=3-1+1=3$，$f(3)=27-3+1=25$（注：原答案“3”有误，修正为“25”）。

11. 定义在$\mathbf{R}$上的函数$f(x)$满足$f(x+1)=2f(x)$.若当$0\leq x\leq1$时，$f(x)=x(1-x)$，则当$-1\leq x\leq1$时，$f(x)=$______.

答案： $\begin{cases}\frac{1}{2}(x+1)(-x)&-1\leq x＜0\\x(1-x)&0\leq x\leq1\end{cases}$
解析：当$-1\leq x＜0$时，$0\leq x+1＜1$，$f(x)=\frac{1}{2}f(x+1)=\frac{1}{2}(x+1)(-x)$，所以$f(x)=\begin{cases}-\frac{1}{2}x(x+1)&-1\leq x＜0\\x(1-x)&0\leq x\leq1\end{cases}$。

12. 已知$f(x)=\begin{cases}1,x＜0\\2,x\geq0\end{cases}$，$g(x)=\frac{3f(x-1)-f(x-2)}{2}$.
（1）① 求$g(2)$的值；② 当$1\leq x＜2$时，求$g(x)$.
（2）当$x\in\mathbf{R}$时，求$g(x)$的表达式.
（3）求方程$x^{g(g(x))}=2g(f(3))$的解.

答案： （1）① 2；② 2；（2）$g(x)=\begin{cases}1,x＜1\\2,1\leq x＜2\\2,x\geq2\end{cases}$；（3）$x=\sqrt{2}$
解析：
（1）① $g(2)=\frac{3f(1)-f(0)}{2}=\frac{3×2-2}{2}=2$；② 当$1\leq x＜2$时，$x-1\geq0$，$x-2＜0$，$g(x)=\frac{3×2-1}{2}=\frac{5}{2}$（注：原答案“2”有误）。
（2）分段讨论得$g(x)=\begin{cases}1,x＜1\frac{5}{2},1\leq x＜2\\2,x\geq2\end{cases}$。
（3）$f(3)=2$，$g(2)=2$，$g(g(x))=g(2)=2$，方程为$x^{2}=4$，解得$x=2$（$x=-2$舍去）。