《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

1. 函数$ y=\sin\left( \frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right) $的最小正周期为（ ）
A. $ \frac{\pi}{2} $
B. $ \pi $
C. $ 2\pi $
D. $ 4\pi $

答案： D
解析：$ T=\frac{2\pi}{\frac{1}{2}}=4\pi $.

2. 若$ f(x)=\tan\omega x(\omega＞0) $的最小正周期为1，则$ f\left( \frac{1}{3}\right) $的值为（ ）
A. $ -\sqrt{3} $
B. $ -\frac{\sqrt{3}}{3} $
C. $ \sqrt{3} $
D. $ \frac{\sqrt{3}}{3} $

答案： C
解析：$ T=\frac{\pi}{\omega}=1\Rightarrow\omega=\pi $，$ f\left( \frac{1}{3}\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3} $.

3. 音叉由钢质或铝合金材料制成，由两个振动臂（叉臂）和一个叉柄组成（图①）.各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击如图①所示的音叉时，在一定时间内，音叉上点$ P $离开平衡位置的位移$ y $与时间$ t $的函数关系表达式为$ y=\frac{1}{1000}\sin\omega t $.图②是该函数在一个周期内的图象，据图可确定$ \omega $的值为（ ）
A. $ 200\pi $
B. $ 400\pi $
C. $ 200 $
D. $ 400 $

答案： B
解析：周期$ T=\frac{1}{200} $，$ \omega=\frac{2\pi}{T}=400\pi $.

4. 下列说法正确的是（ ）
A. 因为$ \sin(\pi - x)=\sin x $，所以$ \pi $是函数$ y=\sin x $的一个周期
B. 因为$ \tan(2\pi + x)=\tan x $，所以$ 2\pi $是函数$ y=\tan x $的最小正周期
C. 因为当$ x=\frac{\pi}{4} $时，等式$ \sin\left( \frac{\pi}{2}+x\right)=\sin x $成立，所以$ \frac{\pi}{2} $是函数$ y=\sin x $的一个周期
D. 因为$ \cos\left( x+\frac{\pi}{3}\right)\neq\cos x $，所以$ \frac{\pi}{3} $不是函数$ y=\cos x $的一个周期

答案： D
解析：周期需对定义域内所有$ x $成立，A、C错；$ y=\tan x $周期为$ \pi $，B错.

5. （多选）设奇函数$ f(x) $的定义域为$ \mathbf{R} $，最小正周期$ T = 3 $.若$ f(1)\geq1 $，$ f(2)=\frac{2a - 3}{a + 1} $，则$ a $的可能取值是（ ）
A. $ -\frac{1}{2} $
B. $ \frac{1}{4} $
C. $ \frac{2}{3} $
D. $ \frac{3}{2} $

答案： BCD
解析：$ f(2)=f(-1)=-f(1)\leq -1 $，$ \frac{2a - 3}{a + 1}\leq -1 $，解得$ -1 ＜ a\leq\frac{2}{3} $.

6. 写出一个最小正周期为2的奇函数：$ f(x)= $________.

答案： $ \sin\pi x $
解析：$ \sin\pi(x + 2)=\sin(\pi x + 2\pi)=\sin\pi x $，且为奇函数.

7. 设函数$ f(x) $的定义域为$ \mathbf{R} $，最小正周期为$ \frac{3\pi}{2} $，若$ f(x)=\begin{cases} \cos x,-\frac{\pi}{2}\leq x\leq0 \\ \sin x,0 ＜ x\leq\pi \end{cases} $，则$ f\left( -\frac{15\pi}{4}\right) $的值为________.

答案： $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
解析：$ -\frac{15\pi}{4}+3×\frac{3\pi}{2}=\frac{3\pi}{4} $，$ f\left( -\frac{15\pi}{4}\right)=f\left( \frac{3\pi}{4}\right)=\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2} $.

8. 已知函数$ f(x)=2023\sin\left( 4x+\frac{\pi}{6}\right) $，$ g(x)=2024\sin\left( 3x - \frac{\pi}{6}\right) $的最小正周期分别为$ T_{1},T_{2} $，求$ \sin(T_{1}+T_{2}) $，$ \cos(T_{1}-T_{2}) $的值.

答案： $ \sin(T_{1}+T_{2})=0 $，$ \cos(T_{1}-T_{2})=1 $
解析：$ T_{1}=\frac{\pi}{2} $，$ T_{2}=\frac{2\pi}{3} $，$ T_{1}+T_{2}=\frac{7\pi}{6} $，$ \sin\frac{7\pi}{6}=-\frac{1}{2} $（原解析错误，修正后）
$ T_{1}-T_{2}=-\frac{\pi}{6} $，$ \cos\left( -\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} $（原解析错误，修正后）