《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

8. 已知函数$ f(x)=\tan\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\right) $，求：
（1）函数$ f(x) $的定义域及最小正周期；
（2）不等式$ -1\leq f(x)\leq\sqrt{3} $的解集。

答案： （1）定义域$ \left\{x\left|x\neq2k\pi+\frac{5\pi}{3},k\in\mathbf{Z}\right.\right\} $，周期$ 2\pi $；（2）$ \left[2k\pi+\frac{\pi}{6},2k\pi+\frac{\pi}{2}\right](k\in\mathbf{Z}) $
解析：（1）由$ \frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\neq k\pi+\frac{\pi}{2} $，得$ x\neq2k\pi+\frac{5\pi}{3} $，定义域为$ \left\{x\left|x\neq2k\pi+\frac{5\pi}{3},k\in\mathbf{Z}\right.\right\} $，周期$ T=\frac{\pi}{\frac{1}{2}}=2\pi $。
（2）由$ -1\leq\tan\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\right)\leq\sqrt{3} $，得$ k\pi-\frac{\pi}{4}\leq\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\leq k\pi+\frac{\pi}{3} $，解得$ 2k\pi+\frac{\pi}{6}\leq x\leq2k\pi+\frac{4\pi}{3} $，解集为$ \left[2k\pi+\frac{\pi}{6},2k\pi+\frac{4\pi}{3}\right](k\in\mathbf{Z}) $。

9. 函数$ y=\tan(\sin x) $的值域为（ ）
A. $ \left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right] $
B. $ \left[-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right] $
C. $ [-\tan1,\tan1] $
D. $ [-1,1] $

答案： C
解析：$ \sin x\in[-1,1] $，$ y=\tan t $在$ [-1,1] $单调递增，值域为$ [-\tan1,\tan1] $。

10. 若函数$ y=\tan\frac{(2k+1)\pi}{5}x(k＞0) $在区间[0,1]内至少有4次失去意义，则k的最小值为______。

答案： $\frac{19}{2}$
解析：函数在$ x=\frac{5}{2(2k+1)}(2n+1) $处无意义，n∈N。令$ \frac{5(2n+1)}{2(2k+1)}\leq1 $，n=0,1,2,3时，$ \frac{5×7}{2(2k+1)}\leq1 $，解得$ k\geq\frac{33}{4}=8.25 $，最小值为9。（注：原答案可能计算有误，正确应为k=9。）

11. 是否存在实数a，且$ a\in\mathbf{Z} $，使得函数$ y=\tan\left(\frac{\pi}{4}-ax\right) $在区间$ \left(\frac{\pi}{8},\frac{5\pi}{8}\right) $上单调递增？若存在，求出a的一个值；若不存在，请说明理由。

答案： 存在，a=-1
解析：$ y=-\tan(ax-\frac{\pi}{4}) $，要单调递增，则$ a＜0 $，且周期$ T=\frac{\pi}{|a|} $。区间长度$ \frac{5\pi}{8}-\frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{2}\leq T $，即$ |a|\leq2 $，a=-1,-2。当a=-1时，$ y=\tan\left(\frac{\pi}{4}+x\right) $，在$ \left(-\frac{3\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right) $递增，$ \left(\frac{\pi}{8},\frac{5\pi}{8}\right) $不完全包含，a=-2时，$ y=\tan\left(\frac{\pi}{4}+2x\right) $，周期$ \frac{\pi}{2} $，在$ \left(-\frac{3\pi}{8},\frac{\pi}{8}\right) $递增，符合，故a=-2。（注：原答案a=-1，需核对单调性区间。）