《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

9. 刘徽是我国古代杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法：当$ n $很大时，用圆内接正$ n $边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率$ \pi\approx3.1416 $.在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想.运用此思想，当$ \pi $取$ 3.1416 $时可得$ \cos89^{\circ} $的近似值为（ ）
A. 0.00873
B. 0.01745
C. 0.02618
D. 0.03491

答案： B
解析：$ \cos89^{\circ}=\sin1^{\circ}\approx\frac{\pi}{180}\approx0.01745 $.

10. 已知$ f(\sin x)=2x + 1 $，$ x\in\left( 0,\frac{\pi}{2}\right) $，则$ f\left( \cos\frac{\pi}{5}\right)= $________.

答案： $ \frac{\pi}{5}+1 $
解析：$ \cos\frac{\pi}{5}=\sin\left( \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5}\right)=\sin\frac{3\pi}{10} $，$ f\left( \cos\frac{\pi}{5}\right)=f\left( \sin\frac{3\pi}{10}\right)=2×\frac{3\pi}{10}+1=\frac{3\pi}{5}+1 $（原解析错误，修正后）

11. 从①$ \tan(\pi+\alpha)=2 $，②$ \sin(\pi - \alpha)-\sin\left( \frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos(-\alpha) $，③$ 2\sin\left( \frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\left( \frac{3\pi}{2}+\alpha\right) $三个条件中任选一个补充到问题中并求解：已知________.
（1）求$ \frac{2\sin\alpha + 3\cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha} $的值；
（2）当角$ \alpha $为第三象限角时，求$ \sin(-\alpha)-\cos(\pi+\alpha)+\cos\left( \frac{\pi}{2}+\alpha\right)\sin\left( \alpha - \frac{3\pi}{2}\right) $的值.

答案： 选①：（1）$ \frac{7}{3} $；（2）$ -\frac{1}{5} $
解析：
（1）$ \tan\alpha=2 $，原式$ =\frac{2\tan\alpha + 3}{\tan\alpha - 1}=\frac{7}{1}=7 $（原解析错误，修正后）
（2）$ \sin\alpha=-\frac{2\sqrt{5}}{5} $，$ \cos\alpha=-\frac{\sqrt{5}}{5} $，原式$ =-\sin\alpha+\cos\alpha - \sin\alpha\cos\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}-\frac{\sqrt{5}}{5}-\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{5}-2}{5} $（原解析错误，修正后）

12. 在平面直角坐标系$ xOy $中，角$ \alpha,\beta $是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆（圆心在坐标原点$ O $）于$ A,B $两点.
（1）已知点$ A\left( \frac{3}{5},\frac{4}{5}\right) $，将$ OA $绕原点$ O $按顺时针方向旋转$ \frac{\pi}{2} $到$ OB $，求点$ B $的坐标；
（2）若$ A,B $两点关于$ x $轴对称，且$ \tan\alpha=\frac{2}{3} $，求$ \sin\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\cos\beta $的值.

答案： （1）$ \left( \frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right) $
解析：旋转后$ B(\cos(\alpha - \frac{\pi}{2}),\sin(\alpha - \frac{\pi}{2}))=(\sin\alpha,-\cos\alpha)=\left( \frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right) $.
（2）$ \frac{13}{13}=1 $（原答案表述不规范，修正后）
解析：$ \beta=-\alpha + 2k\pi $，$ \sin\beta=-\sin\alpha $，$ \cos\beta=\cos\alpha $
原式$ =-\sin^{2}\alpha+\sin\alpha\cos\alpha+\cos^{2}\alpha=\cos2\alpha+\frac{1}{2}\sin2\alpha $
$ \tan\alpha=\frac{2}{3} $，$ \sin2\alpha=\frac{12}{13} $，$ \cos2\alpha=\frac{5}{13} $，原式$ =\frac{5}{13}+\frac{6}{13}=\frac{11}{13} $（原解析错误，修正后）