《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

8. 某游泳馆拟建一座占地面积为$ 200\ m^2 $的矩形泳池,其平面图形如图所示,池深1 m,四周的池壁造价为400元/m,泳池中间设置一道隔离墙,其造价为100元/m,泳池底面造价为60元/$ m^2 $（池壁厚度忽略不计）.设泳池的长为$ x $ m,当泳池的长为多少米时,可使总造价最低?求出泳池的最低总造价.

答案： 长为20 m，最低总造价为24000元
解析：设长为$ x $，宽为$ \frac{200}{x} $，总造价$ C=400(2x+3\cdot\frac{200}{x})+100\cdot\frac{200}{x}+60×200 $，化简得$ C=800x+\frac{260000}{x}+12000 $，当$ x=20 $时，$ C=24000 $.

9. （多选）下列命题正确的是（ ）
A. 当$ ab=1 $时,$ a+b\geq2 $
B. 当$ ab=1 $时,$ \frac{b}{a}+\frac{a}{b}\geq2 $
C. $ 2x+\frac{8}{x-1}-8\geq2 $
D. $ \sqrt{a^{2}-1}+\frac{1}{\sqrt{a^{2}-1}}\geq2 $

答案： BD
解析：A项，当$ a=-1,b=-1 $时不成立；B项，$ \frac{b}{a}+\frac{a}{b}\geq2 $，正确；C项，当$ x＜1 $时不成立；D项，$ \sqrt{a^{2}-1}＞0 $，由均值不等式成立，正确.

10. 商品批发市场中,某商品的定价每天随市场波动,甲、乙两名采购员在每月的同一天去该市场购买同一种商品,甲每次购买$ a $ kg,乙每次购买花费$ b $元（$ a,b $互不相等）.该方案实施2次后______（填“甲”或“乙”）的购买方案平均价格更低.

答案： 乙
解析：设两次价格为$ p_{1},p_{2} $，甲的平均价格$ \frac{ap_{1}+ap_{2}}{2a}=\frac{p_{1}+p_{2}}{2} $，乙的平均价格$ \frac{2b}{\frac{b}{p_{1}}+\frac{b}{p_{2}}}=\frac{2p_{1}p_{2}}{p_{1}+p_{2}} $，由均值不等式，乙更低.

11. 某单位有员工1000名,平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力,该单位决定优化产业结构,调整出$ x(x\in\mathbf{N}^{*}) $名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年创造利润为$ 10\left(a-\frac{3x}{500}\right) $万元$ (a＞0) $,剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高$ 0.2x\% $.
(1) 若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润,则最多调整出多少名员工从事第三产业?
(2) 在保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下,若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,则$ a $的取值范围是多少?

答案：
(1) 500名
解析：剩余员工利润$ 10(1000-x)(1+0.002x)\geq10000 $，化简得$ x^{2}-500x\leq0 $，解得$ x\leq500 $.
(2) $ a\leq5 $
解析：调整员工利润$ 10x\left(a-\frac{3x}{500}\right)\leq10(1000-x)(1+0.002x) $，化简得$ a\leq\frac{1000}{x}+\frac{x}{500}+1 $，$ \frac{1000}{x}+\frac{x}{500}\geq2\sqrt{2} $，故$ a\leq5 $.