《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

9. （多选）如果函数$f(x)$在区间$I$上单调递减，而函数$g(x)=\frac{f(x)}{x}$在区间$I$上单调递增，那么称函数$f(x)$是区间$I$上的“衰减函数”，区间$I$叫作$f(x)$的“衰减区间”。若函数$f(x)=\frac{1}{2}x^{2}-2x +1$是区间$I$上的“衰减函数”，则下列区间不是函数$f(x)$的“衰减区间”的有（ ）
A. $(-\infty,2]$ B. $(0,\sqrt{2}]$ C. $[\sqrt{2},2]$ D. $[1,\sqrt{3}]$

答案： ACD
解析：$f(x)=\frac{1}{2}(x -2)^2 -1$，递减区间$(-\infty,2]$，$g(x)=\frac{f(x)}{x}=\frac{1}{2}x -2 + \frac{1}{x}$，$g'(x)=\frac{1}{2} - \frac{1}{x²}$，令$g'(x)≥0\Rightarrow x²≥2\Rightarrow x≥\sqrt{2}$或$x≤-\sqrt{2}$。所以“衰减区间”为$(-\infty,-\sqrt{2}]\cup[\sqrt{2},2]$，不是的有ACD。

10. 已知函数$f(x)=\begin{cases}x^{2}, x≥t \\x, 0＜x＜t\end{cases}(t＞0)$是区间$(0,+\infty)$上的增函数，则$t$的取值范围是______。

答案： $[1,+\infty)$
解析：$t²≥t\Rightarrow t≥1$，且在$(0,t)$递增，$[t,+\infty)$递增，所以$t≥1$。

11. 已知$f(x)$是定义在$(0,+\infty)$上的函数，且满足：$f(\frac{x}{y})=f(x)-f(y)$；当$x＞1$时，$f(x)＞0$。
（1）判断并证明函数$f(x)$的单调性；
（2）若$f(2)=1$，解不等式$f(x + 3)-f(\frac{1}{x})＞2$。

答案： （1）增函数
证明：设$x_{1}＞x_{2}＞0$，$f(x_{1}) - f(x_{2})=f(\frac{x_{1}}{x_{2}})＞0$（$\frac{x_{1}}{x_{2}}＞1$），所以递增。
（2）$(1,+\infty)$
解析：$f(4)=f(2)+f(2)=2$，不等式为$f(x(x + 3))＞f(4)$，$\begin{cases}x + 3＞0 \frac{1}{x}＞0 \\x(x + 3)＞4\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x＞0 \\x² +3x -4＞0\end{cases}\Rightarrow x＞1$。

12. 记集合$T$为同时满足下列两个条件的函数$f(x)$组成的集合：① $f(x)$在定义域上为单调函数；② $f(x)$的定义域内存在区间$[m,n]$，使得$f(x)$在$[m,n]$上的值域为$[\frac{1}{2}m,\frac{1}{2}n]$。
（1）判断函数$f(x)=\sqrt{x + 1}$是否符合集合$T$。若是，求出$m,n$的值；若不是，请说明理由。
（2）若函数$f(x)=\sqrt{x - 1}+t\in T$，求实数$t$的取值范围。

答案： （1）是，$m=-\frac{3}{4}$，$n=0$
解析：$f(x)=\sqrt{x + 1}$递增，$\begin{cases}\sqrt{m + 1}=\frac{1}{2}m \\\sqrt{n + 1}=\frac{1}{2}n\end{cases}$，解得$m=-\frac{3}{4}$，$n=0$。
（2）$(-\infty,\frac{1}{4}]$
解析：$f(x)=\sqrt{x -1}+t$递增，$\sqrt{m -1}+t=\frac{1}{2}m$，$\sqrt{n -1}+t=\frac{1}{2}n$，方程$\sqrt{x -1}=\frac{1}{2}x -t$有两解，令$\sqrt{x -1}=u≥0$，$u=\frac{1}{2}(u² +1)-t\Rightarrow u² -2u +1 -2t=0$，$\Delta=4 -4(1 -2t)=8t≥0$且$u=1±\sqrt{2t}≥0$，$t≤\frac{1}{4}$。