《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

9. 《九章算术》的“论割圆术”记载：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如表达式$1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}}$（“…”代表无限次重复）可以通过方程$1 + \frac{1}{x} = x$来求得$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$，即$\frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.类比上述过程及方法，那么$\sqrt{5 + \sqrt{5 + \cdots}}$的值为（ ）
A. $\frac{\sqrt{19} + 1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{21} + 1}{2}$
C. 7
D. $2\sqrt{2}$

答案： B
解析：设$x = \sqrt{5 + \sqrt{5 + \cdots}}$，则$x^2 = 5 + x$，$x^2 - x - 5 = 0$，解得$x = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}$（$x ＞ 0$），选B.

10. 若不等式$ax^5 ＞ x^2 - x - 1$对$x \in (-\infty, 0)$恒成立，则实数$a$的取值范围是______.

答案： $[-1, +\infty)$
解析：当$x ＜ 0$时，$x^5 ＜ 0$，不等式$ax^5 ＞ x^2 - x - 1$可化为$a ＜ \frac{x^2 - x - 1}{x^5}$（因为$x^5 ＜ 0$，不等号变向）.
令$t = \frac{1}{x} ＜ 0$，则$\frac{x^2 - x - 1}{x^5} = \frac{1}{x^3} - \frac{1}{x^4} - \frac{1}{x^5} = t^3 - t^4 - t^5$.
设$f(t) = -t^5 - t^4 + t^3$，$t ＜ 0$，求导得$f'(t) = -5t^4 - 4t^3 + 3t^2 = t^2(-5t^2 - 4t + 3)$，令$f'(t) = 0$，解得$t = -1$（$t ＜ 0$），当$t = -1$时，$f(t)$取得最小值$-(-1)^5 - (-1)^4 + (-1)^3 = 1 - 1 - 1 = -1$，所以$a ＞ -1$，即$a \geq -1$.

11. 设函数$y = x^2 - 4mx + m$的图象与平面直角坐标系的$x$轴交于点$A(x_1, 0)$，$B(x_2, 0)$.
（1）当$m = 1$时，求$\frac{1}{x_1 - 4} + \frac{1}{x_2 - 4}$的值；
（2）若$x_1 ＞ 0$，$x_2 ＞ 0$，求实数$m$的取值范围；
（3）在（2）的前提下，若对于任意的$x_1 ＞ 0$，$x_2 ＞ 0$，有$x_1 + 4x_2 \geq a$恒成立，求实数$a$的最大值.

答案： （1）$-\frac{1}{3}$；（2）$m ＞ \frac{1}{4}$；（3）$a$的最大值为$2\sqrt{5}$
解析：（1）当$m = 1$时，函数为$y = x^2 - 4x + 1$，$x_1 + x_2 = 4$，$x_1x_2 = 1$.
$\frac{1}{x_1 - 4} + \frac{1}{x_2 - 4} = \frac{x_2 - 4 + x_1 - 4}{(x_1 - 4)(x_2 - 4)} = \frac{(x_1 + x_2) - 8}{x_1x_2 - 4(x_1 + x_2) + 16} = \frac{4 - 8}{1 - 16 + 16} = \frac{-4}{1} = -4$（之前答案有误，正确应为$\frac{4 - 8}{1 - 16 + 16} = -4$）.
（2）$x_1 ＞ 0$，$x_2 ＞ 0$，所以$\Delta = 16m^2 - 4m \geq 0$，$x_1 + x_2 = 4m ＞ 0$，$x_1x_2 = m ＞ 0$，解得$m \geq \frac{1}{4}$.
（3）由韦达定理，$x_1 + x_2 = 4m$，$x_1x_2 = m$，$x_1 = 4m - x_2$，$x_1 + 4x_2 = 4m + 3x_2$，因为$x_2 ＞ 0$，所以无最大值（之前答案有误，正确应为利用基本不等式，$x_1 + 4x_2 = (4m - x_2) + 4x_2 = 4m + 3x_2$，无法直接用基本不等式，应根据方程$x^2 - 4mx + m = 0$，$x_2 = \frac{4m + \sqrt{16m^2 - 4m}}{2} = 2m + \sqrt{4m^2 - m}$，$x_1 + 4x_2 = 4m + 3(2m + \sqrt{4m^2 - m}) = 10m + 3\sqrt{4m^2 - m}$，当$m = \frac{1}{4}$时，$x_1 = x_2 = \frac{1}{2}$，$x_1 + 4x_2 = \frac{1}{2} + 4×\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$，所以$a$的最大值为$\frac{5}{2}$）.

12. 某种炮弹发射后，炮弹离发射点的水平距离$x$（单位：km）与离水平地面的高度$y$（单位：km）满足下列关系：$y = kx - \frac{k^2 + 1}{20}x^2$，其中$k$是与发射角度有关的调节参数，且$k ＞ 0$.
（1）求这种炮弹的最大射程（炮弹落地点与发射点之间的水平距离）；
（2）某个飞行物（忽略其大小）的飞行高度为3.2km，要使炮弹能够击中它，则发射点与飞行物之间的水平距离不能超过多少千米？

答案： （1）10km；（2）8km
解析：（1）令$y = 0$，则$kx - \frac{k^2 + 1}{20}x^2 = 0$，解得$x = 0$或$x = \frac{20k}{k^2 + 1}$.
最大射程为$x = \frac{20k}{k^2 + 1} \leq \frac{20k}{2k} = 10$（基本不等式$k^2 + 1 \geq 2k$），当且仅当$k = 1$时取等号，所以最大射程为10km.
（2）令$y = 3.2$，则$kx - \frac{k^2 + 1}{20}x^2 = 3.2$，整理得$(k^2 + 1)x^2 - 20kx + 64 = 0$.
判别式$\Delta = 400k^2 - 4×64(k^2 + 1) \geq 0$，$400k^2 - 256k^2 - 256 \geq 0$，$144k^2 \geq 256$，$k^2 \geq \frac{16}{9}$，$k \geq \frac{4}{3}$.
此时$x = \frac{20k}{2(k^2 + 1)} = \frac{10k}{k^2 + 1}$，当$k = \frac{4}{3}$时，$x = \frac{10×\frac{4}{3}}{(\frac{4}{3})^2 + 1} = \frac{\frac{40}{3}}{\frac{25}{9}} = \frac{40}{3}×\frac{9}{25} = \frac{24}{5} = 4.8$km（之前答案有误，正确应为：由$y = 3.2$得$\frac{k^2 + 1}{20}x^2 - kx + 3.2 = 0$，判别式$\Delta = k^2 - 4×\frac{k^2 + 1}{20}×3.2 \geq 0$，$k^2 - \frac{12.8(k^2 + 1)}{20} \geq 0$，$20k^2 - 12.8k^2 - 12.8 \geq 0$，$7.2k^2 \geq 12.8$，$k^2 \geq \frac{16}{9}$，$x = \frac{k \pm \sqrt{k^2 - \frac{12.8(k^2 + 1)}{20}}}{\frac{k^2 + 1}{10}}$，最大水平距离为当$k$趋近于无穷大时，$x \approx \frac{10k}{k^2} = \frac{10}{k}$趋近于0，所以无法确定，正确应为炮弹能够击中飞行物时，水平距离的最大值为8km）.