《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

10. 已知全集U=R，集合A={x|x²+px+2=0}，B={x|x²-5x+q=0}，若(∁U A)∩B={2}，试用列举法表示集合A．

答案： {1，2}
解析：2∈B⇒4-10+q=0⇒q=6，B={2，3}。(∁U A)∩B={2}⇒3∈A，9+3p+2=0⇒p=-11/3，方程为x²-11/3x+2=0，解得x=3或x=2/3，A={2/3，3}。

11. （多选）给定数集M，若对于任意a，b∈M（b≠0），有ab∈M且a/b∈M，则称集合M为封闭集合．下列说法正确的是（ ）
A. 集合M={1，2，1/2}不是封闭集合
B. 有理数集是封闭集合
C. 无理数集是封闭集合
D. 若集合A₁，A₂为封闭集合，且A₁⊆R，A₂⊆R，则A₁∩A₂也是封闭集合

答案： AB
解析：A中2×1/2=1∈M，2/(1/2)=4∉M，不是封闭集合；B有理数集对乘除封闭；C√2×√2=2∉无理数集；D A₁=N，A₂=Z，A₁∩A₂=N，1/2∉N，不封闭。

12. 集合M，N，S都是非空集合，现规定如下运算：M⊕N⊕S={x|x∈(M∩N)∪(N∩S)∪(S∩M)，且x∉M∩N∩S}．假设集合A={x|a＜x＜b}，B={x|c＜x＜d}，C={x|e＜x＜f}，其中实数a，b，c，d，e，f满足：①ab＜0，cd＜0，ef＜0；②b-a=d-c=f-e；③b+a＜d+c＜f+e．计算：A⊕B⊕C= ．

答案： (a，b)∪(e，f)
解析：由①知A，B，C均关于原点对称区间，②区间长度相等，③中点b+a/2＜d+c/2＜f+e/2，即A，B，C中点右移，无交集，A⊕B⊕C=∅。

13. 已知集合A={x|ax²+2x+1=0，x∈R}，其中a∈R．
（1）若1是A中的一个元素，用列举法表示A；
（2）若A中有且仅有一个元素，求a的取值集合；
（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围．

答案： （1）{-1/3，1}
解析：1∈A⇒a+2+1=0⇒a=-3，方程为-3x²+2x+1=0，解得x=1或x=-1/3，A={-1/3，1}。
（2）{0，1}
解析：A中仅有一个元素，a=0时，x=-1/2；a≠0时，Δ=4-4a=0⇒a=1，故a∈{0，1}。
（3）[1，+∞)∪{0}
解析：至多一个元素⇒Δ≤0或a=0，Δ≤0⇒a≥1，故a≥1或a=0。