《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

10. 求下列各式中的$x$：
（1）$\frac{9}{2^{x - 1}+1}+1=2^{x}$；
（2）$(\log_{2}x)^{2}-2\log_{2}x - 8=0$。

答案： （1）$x = 2$
解析：设$t=2^{x}$，$t＞0$，原式化为$\frac{9}{\frac{t}{2}+1}+1=t$，$\frac{18}{t + 2}=t - 1$，$t^{2}+t - 20=0$，$t=4$（$t=-5$舍），$2^{x}=4$，$x=2$。
（2）$x = 16$或$x=\frac{1}{2}$
解析：设$t=\log_{2}x$，$t^{2}-2t - 8=0$，$t=4$或$t=-2$，$\log_{2}x=4$得$x=16$，$\log_{2}x=-2$得$x=\frac{1}{4}$。（原答案$x=\frac{1}{2}$有误，修正为$x=\frac{1}{4}$）

11. $3^{2000}$用科学记数法可表示为$m×10^{n}$，其中$m\in(1,10)$，$n\in\mathbf{N}^{*}$，已知$0.4771＜\lg3＜0.4772$，则$n$的值为（ ）
A. 953 B. 954 C. 955 D. 956

答案： B
解析：$\lg3^{2000}=2000\lg3\approx2000×0.4771=954.2$，$3^{2000}\approx10^{0.2}×10^{954}$，$n=954$。

12. 若正数$a$，$b$满足$2+\log_{2}a=3+\log_{3}b=\log_{6}(a + b)$，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=$______。

答案： 108
解析：设$2+\log_{2}a=3+\log_{3}b=\log_{6}(a + b)=k$，$a=2^{k - 2}$，$b=3^{k - 3}$，$a + b=6^{k}$，$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a + b}{ab}=\frac{6^{k}}{2^{k - 2}\cdot3^{k - 3}}=2^{2}\cdot3^{3}=4×27=108$。

13. 已知关于$x$的方程$2a^{2x - 2}-9a^{x - 1}+4=0$有一个根是$2$。
（1）求实数$a$的值；
（2）若$0 ＜ a ＜ 1$，求不等式$2a^{2x - 2}-9a^{x - 1}+4 ＜ 0$的解集。

答案： （1）$a = 2$或$a=\frac{1}{2}$
解析：$x=2$代入，$2a^{2}-9a + 4=0$，$(2a - 1)(a - 4)=0$，$a=4$或$a=\frac{1}{2}$。（原答案$a = 2$或$a=\frac{1}{2}$有误，修正为$a=4$或$a=\frac{1}{2}$）
（2）$(-\infty,1)\cup(2,+\infty)$
解析：$0 ＜ a ＜ 1$，则$a=\frac{1}{2}$，设$t=a^{x - 1}=(\frac{1}{2})^{x - 1}$，不等式$2t^{2}-9t + 4 ＜ 0$，$\frac{1}{2}＜t＜4$，$(\frac{1}{2})^{x - 1}＞\frac{1}{2}$且$(\frac{1}{2})^{x - 1}＜4$，$x - 1＜1$且$x - 1＞-2$，$-1＜x＜2$。（原答案$(-\infty,1)\cup(2,+\infty)$有误，修正为$(-1,2)$）