《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

1. 若$ a＞0,b＞0 $,则$ \frac{b}{a^{2}}+\frac{4}{b}+\frac{a}{2} $的最小值为（ ）
A. $ \sqrt{2} $
B. 2
C. $ 2\sqrt{2} $
D. 4

答案： D
解析：由均值不等式，$ \frac{b}{a^{2}}+\frac{a}{4}+\frac{a}{4}+\frac{4}{b}\geq4\sqrt[4]{\frac{b}{a^{2}}\cdot\frac{a}{4}\cdot\frac{a}{4}\cdot\frac{4}{b}}=4 $.

2. 若$ a＞0,b＞0,a+b=2 $,则$ \frac{a+b}{ab} $的最小值为（ ）
A. $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
B. $ \sqrt{2} $
C. 1
D. 2

答案： D
解析：$ \frac{a+b}{ab}=\frac{2}{ab}\geq\frac{2}{\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}}=2 $.

3. 某工厂原先的年产量为$ a $,技术革新后,第一年的年产量增长率为$ p $,第二年的年产量增长率为$ q $.若设这两年的年产量平均增长率为$ x $,则（ ）
A. $ x\geq\sqrt{pq} $
B. $ x\leq\frac{p+q}{2} $
C. $ x\leq\sqrt{pq} $
D. $ x\geq\frac{p+q}{2} $

答案： B
解析：$ a(1+p)(1+q)=a(1+x)^{2} $，$ (1+x)^{2}\leq\left(\frac{2+p+q}{2}\right)^{2} \Rightarrow x\leq\frac{p+q}{2} $.

4. 中国古代数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形,边长分别为$ a,b,c $,三角形的面积$ S $可由公式$ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $求得,其中$ p $为三角形周长的一半.现有一个三角形的边长满足$ a+b=3,c=1 $,则此三角形面积的最大值为（ ）
A. $ \sqrt{2} $
B. $ 5\sqrt{3} $
C. $ \sqrt{15} $
D. $ \frac{\sqrt{2}}{2} $

答案： A
解析：$ p=2 $，$ S=\sqrt{2(2-a)(2-b)(2-1)}=\sqrt{2(2-a)(2-b)} $，$ (2-a)(2-b)\leq\left(\frac{(2-a)+(2-b)}{2}\right)^{2}=1 $，故$ S\leq\sqrt{2} $.

5. （多选）设正实数$ x,y $满足$ 3x+y=1 $,则下列说法正确的是（ ）
A. $ xy $的最大值为$ \frac{1}{4} $
B. $ \frac{3}{x}+\frac{1}{y} $的最小值为16
C. $ 9x^{2}+y^{2} $的最小值为$ \frac{1}{2} $
D. $ \sqrt{3x}+\sqrt{y} $的最大值为$ \sqrt{2} $

答案： BCD
解析：A项，$ xy=\frac{1}{3}\cdot3x\cdot y\leq\frac{1}{3}×\frac{1}{4}=\frac{1}{12} $，错误；B项，$ \frac{3}{x}+\frac{1}{y}=(3x+y)\left(\frac{3}{x}+\frac{1}{y}\right)=10+\frac{3y}{x}+\frac{3x}{y}\geq16 $，正确；C项，$ 9x^{2}+y^{2}=(3x+y)^{2}-6xy=1-6xy\geq\frac{1}{2} $，正确；D项，$ (\sqrt{3x}+\sqrt{y})^{2}\leq2(3x+y)=2 $，正确.

6. 某学校开展劳动教育,如图,在围墙边用栅栏围成一块面积为$ 2\ m^2 $的矩形植物种植园,矩形的一条边是围墙(围墙足够长),则至少需要长______m的栅栏.

答案： $ 2\sqrt{2} $
解析：设长为$ x $，宽为$ y $，$ xy=2 $，栅栏长$ x+2y\geq2\sqrt{2xy}=2\sqrt{4}=4 $，原答案为$ 2\sqrt{2} $，修正后应为4.

7. 已知某产品总成本$ C $（单位:元）与年产量$ Q $（单位:件）之间的关系为$ C=40Q^{2}+16000 $.设年产量为$ Q $时的平均成本为$ A $（单位:元/件）,那么$ A $的最小值是______.

答案： 1600
解析：$ A=40Q+\frac{16000}{Q}\geq2\sqrt{40Q\cdot\frac{16000}{Q}}=1600 $.