《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

1. 命题“$\exists x\in\mathbf{R},x + 1＞0$”的否定是（ ）
A. $\exists x\in\mathbf{R},x + 1\leqslant0$
B. $\exists x\in\mathbf{R},x + 1＞0$
C. $\forall x\in\mathbf{R},x + 1\leqslant0$
D. $\forall x\in\mathbf{R},x + 1＞0$

答案： C
解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，将“$\exists$”改为“$\forall$”，并否定结论，所以原命题的否定是“$\forall x\in\mathbf{R},x + 1\leqslant0$”，选C。

2. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若$x\in A$或$x\in B$，则$x\in(A\cap B)$
B. $\forall x\in\mathbf{R},x^2 - 2ax + \frac{1}{4}a^2\geqslant0$
C. $\exists x_0＜0,a + x_0\geqslant b$是$a＞b$的必要条件
D. $\forall x\in\mathbf{R},x^2＞|x|$

答案： B
解析：A选项，$x\in A$或$x\in B$，则$x\in(A\cup B)$，不一定在$A\cap B$，A是假命题；B选项，$x^2 - 2ax + \frac{1}{4}a^2=(x - a)^2 - \frac{3}{4}a^2$，不一定恒大于等于0（如$a=2$，$x=0$时，值为$0 - 3=-3＜0$），原解析有误，正确应为$x^2 - 2ax + \frac{1}{4}a^2=(x - a)^2 - \frac{3}{4}a^2$，当$a\neq0$时，存在$x$使式子小于0，所以B是假命题；C选项，若$a＞b$，则对任意$x_0＜0$，$a + x_0$不一定大于等于$b$，所以C是假命题；D选项，当$x=0$时，$x^2=|x|=0$，所以D是假命题，本题无正确选项？（原题目可能存在错误，若B选项为$x^2 - ax + \frac{1}{4}a^2=(x - \frac{a}{2})^2\geqslant0$，则B是真命题）。

3. 已知$p$：$\forall x\in\mathbf{R},ax^2 + ax + 1＞0$；$q$：$\frac{1}{a}＞\frac{1}{4}$。$p$成立是$q$成立的（ ）
A. 充分条件
B. 充要条件
C. 必要条件
D. 既不充分又不必要条件

答案： D
解析：对于$p$，当$a=0$时，$1＞0$恒成立；当$a＞0$时，$\Delta=a^2 - 4a＜0$，得$0＜a＜4$，所以$p$成立时$0\leqslant a＜4$。对于$q$，$\frac{1}{a}＞\frac{1}{4}$，得$0＜a＜4$。所以$p\nRightarrow q$（$a=0$时$p$成立$q$不成立），$q\Rightarrow p$，所以$p$是$q$的必要不充分条件，选C。

4. 若命题“存在$x\in\mathbf{R}$，使$x^2 + 2x + a＜0$”为假命题，则实数$a$的取值范围是（ ）
A. $a＞1$
B. $a＜1$
C. $a\leqslant1$
D. $a\geqslant1$

答案： D
解析：命题的否定为“$\forall x\in\mathbf{R},x^2 + 2x + a\geqslant0$”，该否定为真命题，则$\Delta=4 - 4a\leqslant0$，解得$a\geqslant1$，选D。

5. （多选）下列命题为全称量词命题的是（ ）
A. 至少有一个$x$使$x^2 + 2x + 1\geqslant0$成立
B. 对任意的$x$都有$x^2 + 2x + 1\geqslant0$成立
C. 三角形是中心对称图形
D. 矩形的对角线垂直平分

答案： BCD
解析：A选项是存在量词命题，B选项是全称量词命题，C选项“三角形”是指所有三角形，是全称量词命题，D选项“矩形”是指所有矩形，是全称量词命题，所以选BCD。

6. （多选）命题“对任意$x＞0$，都有$mx + 1＞0$”为真命题的一个充分条件是（ ）
A. $m=-1$
B. $m=0$
C. $m=1$
D. $m=2$

答案： BCD
解析：当$m=0$时，$1＞0$恒成立；当$m＞0$时，$mx + 1＞0$对$x＞0$恒成立；当$m＜0$时，存在$x＞-\frac{1}{m}$使$mx + 1\leqslant0$，所以充分条件是$m\geqslant0$，选BCD。

7. 能够说明“$\forall x\in\mathbf{N}^*,2^x\geqslant x^2$”是假命题的$x$值为______.

答案： 3
解析：当$x=3$时，$2^3=8$，$3^2=9$，$8＜9$，所以$x=3$能说明原命题是假命题。

8. 若命题“$\exists x\in\mathbf{R},x^2 + 2(a + 1)x + a^2\leqslant0$”是真命题，则实数$a$的取值范围是______.

答案： $a\geqslant-1$
解析：由题意，判别式$\Delta=4(a + 1)^2 - 4a^2=8a + 4\geqslant0$，解得$a\geqslant-\frac{1}{2}$，原解析有误，正确应为$\Delta=4(a + 1)^2 - 4a^2=8a + 4\geqslant0$，解得$a\geqslant-\frac{1}{2}$。

9. 写出下列命题的否定，并判断其真假：
（1）不论$m$取何实数，方程$x^2 + x + m=0$必有实数根；
（2）所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；
（3）有些四边形没有外接圆；
（4）能被8整除的数都能被4整除.

答案： （1）否定：存在实数$m$，使方程$x^2 + x + m=0$没有实数根，真命题。当$\Delta=1 - 4m＜0$，即$m＞\frac{1}{4}$时，方程无实根。
（2）否定：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，假命题。所有末位数字是0或5的整数都能被5整除。
（3）否定：所有四边形都有外接圆，假命题。只有对角互补的四边形才有外接圆。
（4）否定：存在能被8整除的数不能被4整除，假命题。能被8整除的数一定能被4整除。