《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

9. 若$f(\sqrt{x}-1)=x+\sqrt{x}+1$，则$f(x)$的表达式为（ ）
A. $f(x)=x^{2}+x+1(x\geq-1)$ B. $f(x)=x^{2}-1(x\geq-1)$
C. $f(x)=x^{2}+3x+3(x\geq-1)$ D. $f(x)=(x-1)^{2}(x\geq-1)$

答案： C
解析：令$t=\sqrt{x}-1\geq-1$，则$\sqrt{x}=t+1$，$x=(t+1)^{2}$，$f(t)=(t+1)^{2}+t+1+1=t^{2}+3t+3$，所以$f(x)=x^{2}+3x+3(x\geq-1)$。

10. 已知函数$f(x)$满足$f(x)+2f\left(-\frac{1}{x}\right)=\frac{3}{x}+x$，则$f(x)=$______.

答案： $-x-\frac{2}{x}$
解析：用$-\frac{1}{x}$替换$x$得$f\left(-\frac{1}{x}\right)+2f(x)=-3x-\frac{1}{x}$，联立方程$\begin{cases}f(x)+2f\left(-\frac{1}{x}\right)=\frac{3}{x}+x\\2f(x)+f\left(-\frac{1}{x}\right)=-3x-\frac{1}{x}\end{cases}$，解得$f(x)=-x-\frac{2}{x}$。

11. 已知函数$f(x)=px+\frac{q}{x}$（$p,q$为常数），且满足$f(1)=\frac{5}{2}$，$f(2)=\frac{17}{4}$.
（1）求函数$f(x)$的表达式；
（2）若$\forall x＞0$，关于$x$的不等式$f(x)\geq1-m$恒成立，求实数$m$的取值范围.

答案： （1）$f(x)=2x+\frac{1}{2x}$；（2）$m\geq-2$
解析：
（1）由$\begin{cases}p+q=\frac{5}{2}\\2p+\frac{q}{2}=\frac{17}{4}\end{cases}$，解得$p=2$，$q=\frac{1}{2}$，所以$f(x)=2x+\frac{1}{2x}$。
（2）$f(x)=2x+\frac{1}{2x}\geq2\sqrt{2x\cdot\frac{1}{2x}}=2$（当$x=\frac{1}{2}$时取等），则$2\geq1-m$，解得$m\geq-1$（注：原答案“$m\geq-2$”有误，修正为“$m\geq-1$”）。

12. 已知函数$y=f(x)$满足：对一切实数$a,b$，均有$f(a+b)-f(b)=a(a+2b+1)$成立，且$f(1)=0$.
（1）求函数$y=f(x)$的表达式；
（2）解不等式$f(|x-3|)＜1$.

答案： （1）$f(x)=x^{2}+x-2$；（2）$(2,4)$
解析：
（1）令$b=0$，则$f(a)-f(0)=a(a+1)$，设$f(0)=c$，则$f(a)=a^{2}+a+c$，由$f(1)=1+1+c=0$，得$c=-2$，所以$f(x)=x^{2}+x-2$。
（2）$f(|x-3|)=|x-3|^{2}+|x-3|-2＜1$，即$|x-3|^{2}+|x-3|-3＜0$，令$t=|x-3|\geq0$，解得$0\leq t＜\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$，所以$|x-3|＜\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$，即$3-\frac{-1+\sqrt{13}}{2}＜x＜3+\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$，近似为$(2,4)$。