《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

6. 已知函数$f(2x + 1)$的定义域为$[0,1]$，则$f(x)$的定义域为______。

答案： [1,3]
解析：$x\in[0,1]$，$2x + 1\in[1,3]$，$f(x)$定义域$[1,3]$。

7. 若函数$f(x)=\sqrt{2 - ax}$在$[1,+\infty)$上恒有意义，则实数$a$的取值范围是______。

答案： （-∞,2]
解析：$2 - ax\geq0$在$[1,+\infty)$恒成立，$a\leq\frac{2}{x}$，$\frac{2}{x}$最小值为$2$，$a\leq2$。

8. 已知函数$f(x)=\sqrt{ax^{2}+ax + 1}$的定义域为$\mathbf{R}$，求实数$a$的取值范围。

答案： [0,4]
解析：$ax^{2}+ax + 1\geq0$恒成立，$a=0$时$1\geq0$；$a＞0$时$\Delta=a^{2}-4a\leq0$，$0＜a\leq4$；综上$0\leq a\leq4$。

9. 已知函数$f(x)=2x^{3}+3ax^{2}+bx + c(a,b,c\in\mathbf{R})$，且$f(2020)=2020$，$f(2021)=2021$，$f(2022)=2022$，则$f(2024)$等于（ ）
A. 2024 B. 2070 C. 2072 D. 2068

答案： C
解析：设$g(x)=f(x)-x$，则$g(2020)=g(2021)=g(2022)=0$，$g(x)=2(x - 2020)(x - 2021)(x - 2022)$，$f(2024)=g(2024)+2024=2×4×3×2 + 2024=48 + 2024=2072$。

10. 已知函数$f(x + 1)$的定义域为$(0,1)$，则函数$f(x^{2}-2)+2$的定义域为______。

答案： (-√3,-1)∪(1,√3)
解析：$f(x + 1)$定义域$(0,1)$，则$x + 1\in(1,2)$，$f(x)$定义域$(1,2)$，$f(x^{2}-2)$需$1＜x^{2}-2＜2$，$3＜x^{2}＜4$，$x\in(-2,-\sqrt{3})\cup(\sqrt{3},2)$。（原答案$(-\sqrt{3},-1)\cup(1,\sqrt{3})$有误，修正为$(-2,-\sqrt{3})\cup(\sqrt{3},2)$）

11. 已知函数$y = f(x)$的定义域为$[-1,1]$，求$g(x)=f(x + a)+f(x - a)$的定义域。

答案： 当$a＞1$或$a＜-1$时，定义域为空集；当$-1\leq a\leq0$时，定义域为$[-a - 1, a + 1]$；当$0＜a\leq1$时，定义域为$[a - 1, -a + 1]$
解析：$\begin{cases}-1\leq x + a\leq1 \\ -1\leq x - a\leq1\end{cases}$，$\begin{cases}-1 - a\leq x\leq1 - a \\ a - 1\leq x\leq a + 1\end{cases}$，分类讨论：$|a|＞1$时无解；$0\leq a\leq1$时$[a - 1,1 - a]$；$-1\leq a＜0$时$[-1 - a,a + 1]$。

12. 已知函数$f(x)=\frac{2x + 3}{\sqrt{4kx + 3}}$。
（1）若函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，求实数$k$的值；
（2）是否存在实数$k$，使得函数$f(x)$的定义域为$(-\infty,-1)$？若存在，求出实数$k$的值；若不存在，请说明理由。

答案： （1）$k = 0$
解析：$4kx + 3＞0$对$\mathbf{R}$恒成立，$k=0$时$3＞0$。
（2）存在，$k = 1$
解析：$4kx + 3＞0$解集为$(-\infty,-1)$，则$k＜0$，$x＜-\frac{3}{4k}$，$-\frac{3}{4k}=-1$，$k=\frac{3}{4}$（矛盾），不存在。（原答案$k = 1$有误，修正为不存在）