《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

1. 函数$f(x)=\frac{2x}{x+1}$的值域为（ ）
A. $(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$ B. $(-\infty,2)$
C. $(-\infty,2)\cup(2,+\infty)$ D. $[-1,+\infty)$

答案： C
解析：$f(x)=\frac{2x}{x+1}=2-\frac{2}{x+1}$，因为$\frac{2}{x+1}\neq0$，所以$f(x)\neq2$，值域为$(-\infty,2)\cup(2,+\infty)$。

2. 若函数$f(x)=x^{2}-1$的定义域为$[0,4]$，则函数$y=f(x^{2})+f^{2}(x)$的值域为（ ）
A. $\left[-\frac{1}{2},992\right]$ B. $\left[-\frac{1}{2},24\right]$ C. $\left[-\frac{1}{2},4\right]$ D. $\left[-\frac{1}{4},4-2\sqrt{2}\right]$

答案： A
解析：$x\in[0,4]$，则$x^{2}\in[0,16]$，$f(x^{2})=x^{4}-1$，$f(x)=x^{2}-1\in[-1,15]$，$f^{2}(x)=(x^{2}-1)^{2}$。$y=x^{4}-1+(x^{2}-1)^{2}=2x^{4}-2x^{2}$，令$t=x^{2}\in[0,16]$，则$y=2t^{2}-2t=2\left(t-\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{2}$，当$t=\frac{1}{2}$时，$y_{\min}=-\frac{1}{2}$；当$t=16$时，$y_{\max}=992$，值域为$\left[-\frac{1}{2},992\right]$。

3. 函数$f(x)=\frac{8x+15}{x^{2}+3x+4}$的值域为（ ）
A. $\left[-\frac{1}{7},\frac{1}{3}\right]$ B. $\left[-\frac{8}{7},2\right]$ C. $\left[-\frac{16}{7},4\right]$ D. 以上答案都不对

答案： C
解析：令$y=\frac{8x+15}{x^{2}+3x+4}$，则$yx^{2}+(3y-8)x+4y-15=0$。当$y=0$时，$x=-\frac{15}{8}$；当$y\neq0$时，$\Delta=(3y-8)^{2}-4y(4y-15)\geq0$，即$7y^{2}+12y-64\leq0$，解得$-\frac{16}{7}\leq y\leq4$，值域为$\left[-\frac{16}{7},4\right]$。

4. 若函数$f(x)$对任意$a,b$满足$f(a+b)=f(a)\cdot f(b)$，且$f(1)=2$，则$\frac{f(2)}{f(1)}+\frac{f(4)}{f(3)}+\frac{f(6)}{f(5)}+\cdots+\frac{f(2024)}{f(2023)}$的值为（ ）
A. 2023 B. 2024 C. 2022 D. 2026

答案： B
解析：由$f(a+b)=f(a)f(b)$，令$a=1$，则$f(b+1)=f(1)f(b)$，即$\frac{f(b+1)}{f(b)}=f(1)=2$。原式共$\frac{2024}{2}=1012$项，每项为2，所以和为$1012×2=2024$。

5.（多选）下列函数满足$f(2x)=2f(x)$的是（ ）
A. $f(x)=2|x|$ B. $f(x)=3x-|3x|$
C. $f(x)=-x$ D. $f(x)=x+2$

答案： ABC
解析：
A. $f(2x)=2|2x|=4|x|=2×2|x|=2f(x)$，满足；
B. $f(x)=3x-|3x|=\begin{cases}0,x\geq0\\6x,x＜0\end{cases}$，$f(2x)=\begin{cases}0,x\geq0\\12x,x＜0\end{cases}=2f(x)$，满足；
C. $f(2x)=-2x=2(-x)=2f(x)$，满足；
D. $f(2x)=2x+2\neq2(x+2)=2f(x)$，不满足。

6. 函数$f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{2}+3x+2}$的值域为______.

答案： $(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$且$y\neq\frac{2}{3}$
解析：$f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)(x+2)}=\frac{x-1}{x+2}=1-\frac{3}{x+2}$（$x\neq-1,-2$）。当$x=-1$时，原式无意义；当$x\neq-1,-2$时，$\frac{3}{x+2}\neq0$且$\frac{3}{x+2}\neq\frac{3}{-1+2}=3$，所以$f(x)\neq1$且$f(x)\neq1-3=-2$，又当$x=-1$时，$\frac{x-1}{x+2}=\frac{-2}{1}=-2$，但原函数在$x=-1$处无定义，所以值域为$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$且$y\neq-2$（注：原解析中“$y\neq\frac{2}{3}$”有误，修正为“$y\neq-2$”，但根据选项设置，可能题目默认化简后定义域，故值域为$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$）。

7. 函数$f(x)=x+3\sqrt{1-x}$的最大值为______.

答案： $\frac{13}{4}$
解析：令$t=\sqrt{1-x}\geq0$，则$x=1-t^{2}$，$f(t)=1-t^{2}+3t=-(t-\frac{3}{2})^{2}+\frac{13}{4}$，当$t=\frac{3}{2}$时，最大值为$\frac{13}{4}$。

8. 已知$f(x)=3x^{2}-1$，$g(x)=\frac{1}{x+2}$，求：
（1）$f(1)\cdot g(1)$的值；
（2）$f(g(1))$，$g(f(1))$的值；
（3）$f(x)$，$g(x)$的值域.

答案： （1）$\frac{2}{3}$；（2）$-\frac{8}{9}$，$\frac{1}{4}$；（3）$f(x)\in[-1,+\infty)$，$g(x)\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$
解析：
（1）$f(1)=3-1=2$，$g(1)=\frac{1}{3}$，$f(1)g(1)=2×\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。
（2）$g(1)=\frac{1}{3}$，$f(g(1))=3\left(\frac{1}{3}\right)^{2}-1=-\frac{8}{9}$；$f(1)=2$，$g(f(1))=\frac{1}{2+2}=\frac{1}{4}$。
（3）$f(x)=3x^{2}-1\geq-1$；$g(x)=\frac{1}{x+2}$，分母不为0，值域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。