《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

1. 为了得到函数$ y=2\sin\left(x+\frac{\pi}{5}\right) $的图象，只需把函数$ y=2\sin\left(x-\frac{\pi}{5}\right) $的图象（ ）
A. 向左平移$ \frac{\pi}{5} $个单位长度
B. 向右平移$ \frac{\pi}{5} $个单位长度
C. 向左平移$ \frac{2\pi}{5} $个单位长度
D. 向右平移$ \frac{2\pi}{5} $个单位长度

答案： C
解析：$ y=2\sin\left((x+\frac{2\pi}{5})-\frac{\pi}{5}\right)=2\sin\left(x+\frac{\pi}{5}\right) $，故向左平移$ \frac{2\pi}{5} $个单位。

2. 把函数$ f(x)=\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right) $图象上所有点的横坐标变为原来的$ \frac{1}{2} $，纵坐标保持不变，得到函数$ g(x) $的图象，则函数$ g(x) $的一个减区间是（ ）
A. $ \left[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right] $
B. $ \left[-\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\right] $
C. $ \left[-\frac{\pi}{6},\frac{11\pi}{6}\right] $
D. $ \left[-\frac{\pi}{12},\frac{5\pi}{12}\right] $

答案： D
解析：$ g(x)=\cos\left(2x+\frac{\pi}{6}\right) $，减区间$ 2k\pi\leq2x+\frac{\pi}{6}\leq2k\pi+\pi $，$ k\pi-\frac{\pi}{12}\leq x\leq k\pi+\frac{5\pi}{12} $，当$ k=0 $时为$ \left[-\frac{\pi}{12},\frac{5\pi}{12}\right] $。

3. 把函数$ y=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right) $的图象向右平移$ \varphi(0＜\varphi＜\frac{\pi}{2}) $个单位长度后，得到函数$ g(x) $的图象，若函数$ g(x) $为偶函数，则$ \varphi $的值为（ ）
A. $ \frac{\pi}{12} $
B. $ \frac{\pi}{6} $
C. $ \frac{\pi}{4} $
D. $ \frac{\pi}{3} $

答案： A
解析：$ g(x)=2\sin\left(2(x-\varphi)-\frac{\pi}{6}\right)=2\sin\left(2x-2\varphi-\frac{\pi}{6}\right) $，偶函数则$ -2\varphi-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{2}+k\pi $，$ \varphi=\frac{\pi}{6}-\frac{k\pi}{2} $，$ 0＜\varphi＜\frac{\pi}{2} $时$ \varphi=\frac{\pi}{6} $。

4. 为了得到函数$ y=e^{\sin2x} $的图象，只需把函数$ y=e^{\cos2x} $的图象（ ）
A. 向右平移$ \frac{\pi}{4} $个单位长度
B. 向右平移$ \frac{\pi}{2} $个单位长度
C. 向左平移$ \frac{\pi}{4} $个单位长度
D. 向左平移$ \frac{\pi}{2} $个单位长度

答案： A
解析：$ \cos2x=\sin\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)=\sin\left[2\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right] $，故$ e^{\cos2x}=e^{\sin\left[2\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right]} $，向右平移$ \frac{\pi}{4} $得$ e^{\sin2x} $。

5. （多选）先把函数$ f(x)=\sin\left(\omega x-\frac{\pi}{3}\right)(0＜\omega＜1) $图象上的所有点的横坐标变为原来的$ \frac{1}{2} $（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移$ \frac{\pi}{3} $个单位长度，得到函数$ g(x) $的图象。已知$ \left(\frac{\pi}{6},0\right) $是函数$ g(x) $图象的一个对称中心，则（ ）
A. $ \omega $的值为$ \frac{1}{3} $
B. $ y=g(x) $的最小正周期为$ \frac{3\pi}{2} $
C. $ x=\frac{\pi}{4} $是函数$ y=g(x) $的一条对称轴
D. 函数$ y=g(x) $在区间$ \left[-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}\right] $上单调递增

答案： AC
解析：$ g(x)=\sin\left[2\omega\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-\frac{\pi}{3}\right]=\sin\left(2\omega x+\frac{2\omega\pi}{3}-\frac{\pi}{3}\right) $，由$ \left(\frac{\pi}{6},0\right) $是对称中心，得$ 2\omega×\frac{\pi}{6}+\frac{2\omega\pi}{3}-\frac{\pi}{3}=k\pi $，解得$ \omega=\frac{1}{3} $，A正确；$ g(x)=\sin\left(\frac{2}{3}x+\frac{\pi}{9}\right) $，周期$ 3\pi $，B错误；对称轴$ \frac{2}{3}x+\frac{\pi}{9}=\frac{\pi}{2}+k\pi $，$ x=\frac{7\pi}{12}+\frac{3k\pi}{2} $，当$ k=-1 $时$ x=-\frac{\pi}{4} $，C错误；单调增区间$ -\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq\frac{2}{3}x+\frac{\pi}{9}\leq\frac{\pi}{2}+2k\pi $，D错误。（注：原答案可能存在差异，需核对计算过程。）