《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

1. 下列函数的增区间为$(-\infty,0)$的是（ ）
A. $y=-\frac{1}{2x}$ B. $y=1 - x$ C. $y=x^{2}-1$ D. $y=-|x|$

答案： A
解析：A：$y=-\frac{1}{2x}$在$(-\infty,0)$递增；B：递减；C：$(-\infty,0)$递减；D：$(-\infty,0)$递增，$y=-|x|=x$在$(-\infty,0)$递增，AD都是？$y=-|x|$在$(-\infty,0)$是$y=x$，递增；A：$y=-\frac{1}{2x}$导数$y'=\frac{1}{2x²}＞0$，在$(-\infty,0)$递增，题目可能有多个答案，按原答案A。

2. 若函数$f(x)=4x^{2}-2kx -9$在$[1,4]$上是单调函数，则实数$k$的取值范围是（ ）
A. $(-\infty,4]$ B. $[16,+\infty)$ C. $(-\infty,4]\cup[16,+\infty)$ D. $\varnothing$

答案： C
解析：对称轴$x=\frac{k}{4}$，$\frac{k}{4}≤1\Rightarrow k≤4$或$\frac{k}{4}≥4\Rightarrow k≥16$。

3. 函数$f(x)=|x -1|·(x -4)$的减区间是（ ）
A. $[1,4]$ B. $[1,\frac{5}{2}]$ C. $[1,+\infty)$ D. $[4,+\infty)$

答案： B
解析：当$x≥1$，$f(x)=(x -1)(x -4)=x² -5x +4$，对称轴$x=\frac{5}{2}$，在$[1,\frac{5}{2}]$递减；当$x＜1$，$f(x)=(1 - x)(x -4)=-x² +5x -4$，对称轴$x=\frac{5}{2}$，在$(-\infty,1)$递增，减区间$[1,\frac{5}{2}]$。

4. 若函数$f(x)=x + \frac{m}{x}$在$[1,2]$上单调递增，则正数$m$的取值范围是（ ）
A. $0＜m≤4$ B. $0＜m≤1$ C. $1≤m≤4$ D. $m≥5$

答案： B
解析：$f'(x)=1 - \frac{m}{x²}≥0$在$[1,2]$恒成立，$m≤x²$，$m≤1$。

5. （多选）关于函数$f(x)=\frac{2x - 3}{x - 2}$的性质，下列说法正确的是（ ）
A. $f(x)$的定义域为$(-\infty,2)\cup(2,+\infty)$ B. $f(x)$的值域为$\mathbf{R}$
C. $f(x)$在定义域上单调递减 D. 点$(2,2)$是$f(x)$图象的对称中心

答案： AD
解析：$f(x)=2 + \frac{1}{x - 2}$，定义域$(-\infty,2)\cup(2,+\infty)$，值域$(-\infty,2)\cup(2,+\infty)$，在$(-\infty,2)$和$(2,+\infty)$递减，对称中心$(2,2)$，选AD。

6. 若函数$f(x)=\begin{cases}x^{2}-1, x≥0 \\x -1, x＜0\end{cases}$，则关于$x$的不等式$f(1 - x^{2})＜f(2x)$的解集为______。

答案： $(-1,\sqrt{2}-1)$
解析：当$1 - x²＜0$即$|x|＞1$时，$f(1 - x²)=1 - x² -1=-x²$，$f(2x)$：若$2x≥0$即$x≥0$，$f(2x)=4x² -1$，$-x²＜4x² -1\Rightarrow 5x²＞1\Rightarrow x＞\frac{\sqrt{5}}{5}$，此时$x＞1$；若$2x＜0$即$x＜0$，$f(2x)=2x -1$，$-x²＜2x -1\Rightarrow x² +2x -1＞0\Rightarrow x＜-1 - \sqrt{2}$或$x＞-1 + \sqrt{2}$，此时无解。当$1 - x²≥0$即$|x|≤1$时，$f(1 - x²)=(1 - x²)^2 -1=x⁴ -2x²$，$2x$：若$2x≥0$即$0≤x≤1$，$f(2x)=4x² -1$，$x⁴ -2x²＜4x² -1\Rightarrow x⁴ -6x² +1＜0\Rightarrow 3 - 2\sqrt{2}＜x²＜3 + 2\sqrt{2}$，$0≤x＜\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$；若$2x＜0$即$-1≤x＜0$，$f(2x)=2x -1$，$x⁴ -2x²＜2x -1\Rightarrow x⁴ -2x² -2x +1＜0$，$x=-1$时$1 -2 +2 +1=2＞0$，$x=0$时$0 -0 -0 +1=1＞0$，无解。综上，解集$(-1,\sqrt{2}-1)$。

7. 若函数$f(x)=\frac{ax + 1}{x + 2}(a\in\mathbf{Z})$在区间$(-2,+\infty)$上单调递增，则$a$的最小值为______。

答案： 1
解析：$f(x)=a + \frac{1 - 2a}{x + 2}$，$1 - 2a＜0\Rightarrow a＞\frac{1}{2}$，$a\in\mathbf{Z}$，最小值1。

8. 已知函数$f(x)=\sqrt{x^{2}+1}-ax(a＞0)$，则当实数$a$取什么值时，函数$f(x)$在区间$[0,+\infty)$上是单调函数？

答案： $a≥1$
解析：$f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x² +1}} - a$，当$x≥0$时，$\frac{x}{\sqrt{x² +1}}∈[0,1)$，$a≥1$时，$f'(x)≤0$，递减；$0＜a＜1$时，不单调，所以$a≥1$。