《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

13. 设命题$p$：$\exists x\in\mathbf{R},x^2 - 2x + m - 4=0$；命题$q$：$\forall x\in\mathbf{R},x^2 - 2(m - 5)x + m^2 + 14\neq0$。若$p,q$都为真命题，求实数$m$的取值范围.

答案： 对于$p$，由$\Delta=4 - 4(m - 4)=20 - 4m\geqslant0$，得$m\leqslant5$；对于$q$，由$\Delta=4(m - 5)^2 - 4(m^2 + 14)=-40m + 64＜0$，得$m＞\frac{8}{5}$，综上，$\frac{8}{5}＜m\leqslant5$。

14. 已知集合$A=\{x|-2\leqslant x\leqslant5\}$，$B=\{x|m + 1\leqslant x\leqslant2m - 1\}$。
（1）若命题“$\forall x\in B,x\in A$”是真命题，求实数$m$的取值范围；
（2）若命题“$\exists x\in A,x\in B$”是真命题，求实数$m$的取值范围.

答案： （1）若$B=\varnothing$，则$m + 1＞2m - 1$，得$m＜2$；若$B\neq\varnothing$，则$\begin{cases}m + 1\geqslant-2\\2m - 1\leqslant5\\m\geqslant2\end{cases}$，得$2\leqslant m\leqslant3$，综上，$m\leqslant3$。
（2）若$B=\varnothing$，则命题为假；若$B\neq\varnothing$，则$\begin{cases}m + 1\leqslant5\\2m - 1\geqslant-2\\m\geqslant2\end{cases}$，得$2\leqslant m\leqslant4$。

15. 已知命题“$\forall x\in\{x|-1\leqslant x\leqslant3\}$，都有不等式$x^2 - x - m＜0$成立”是真命题。
（1）求实数$m$的取值集合$A$；
（2）设集合$B=\{x|2 + a＜x＜3a\}$，$A\cap B=B$，求实数$a$的取值范围.

答案： （1）由题意，$m＞x^2 - x$对$x\in[-1,3]$恒成立，$x^2 - x=(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$，在$[-1,3]$上的最大值为$3^2 - 3=6$，所以$A=(6,+\infty)$。
（2）因为$A\cap B=B$，所以$B\subseteq A$。若$B=\varnothing$，则$2 + a\geqslant3a$，得$a\leqslant1$；若$B\neq\varnothing$，则$3a\leqslant6$，得$a\leqslant2$，综上，$a\leqslant1$。

16. 设命题$p$：对任意$x\in\{x|0\leqslant x\leqslant1\}$，不等式$x - 2\geqslant m^2 - 3m$恒成立；命题$q$：存在$x\in\{x|-1\leqslant x\leqslant1\}$，使得不等式$x^2 - x - 1 + m\leqslant0$成立。
（1）若$p$为真命题，求实数$m$的取值范围；
（2）若命题$p,q$有且只有一个为真命题，求实数$m$的取值范围.

答案： （1）对$x\in[0,1]$，$x - 2$的最小值为$-2$，所以$-2\geqslant m^2 - 3m$，即$m^2 - 3m + 2\leqslant0$，解得$1\leqslant m\leqslant2$。
（2）对于$q$，$m\leqslant -x^2 + x + 1$，$-x^2 + x + 1$在$[-1,1]$上的最大值为$\frac{5}{4}$，所以$q$为真时，$m\leqslant\frac{5}{4}$。若$p$真$q$假，则$\begin{cases}1\leqslant m\leqslant2\\m＞\frac{5}{4}\end{cases}$，得$\frac{5}{4}＜m\leqslant2$；若$p$假$q$真，则$\begin{cases}m＜1或m＞2\\m\leqslant\frac{5}{4}\end{cases}$，得$m＜1$，综上，$m＜1$或$\frac{5}{4}＜m\leqslant2$。