《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

1. 已知函数$f\left(x-\frac{1}{x}\right)=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$，则$f\left(\frac{3}{2}\right)$的值为（ ）
A. $\frac{17}{4}$ B. 4 C. $\frac{7}{2}$ D. $\frac{13}{4}$

答案： A
解析：$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=\left(x-\frac{1}{x}\right)^{2}+2$，所以$f(t)=t^{2}+2$，$f\left(\frac{3}{2}\right)=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}+2=\frac{17}{4}$。

2. 若函数$f(x)=\begin{cases}x+2,x\leq-1\\x^{2},x＞-1\end{cases}$，则方程$f(f(x))=1$的解集为（ ）
A. $\{1\}$ B. $\{-1,1\}$ C. $\{-1,1,3\}$ D. $\{-3,-1,1\}$

答案： D
解析：当$f(x)\leq-1$时，$f(x)+2=1$，$f(x)=-1$，则$x+2=-1$（$x\leq-1$）得$x=-3$；当$f(x)＞-1$时，$f(x)^{2}=1$，$f(x)=1$（$-1$舍去），则$x+2=1$（$x\leq-1$）得$x=-1$，或$x^{2}=1$（$x＞-1$）得$x=1$，解集为$\{-3,-1,1\}$。

3. 函数$y=\frac{4}{x+\frac{1}{x}}$的图象大致为（ ）

答案： A
解析：函数定义域为$x\neq0$，且为奇函数，当$x＞0$时，$x+\frac{1}{x}\geq2$，$0＜y\leq2$，A选项符合。

4. 已知一次函数$f(x)=-\frac{1}{3}x+b(b\neq0)$满足$f(f(0))=b^{2}$，且点$Q(m,n)$在$f(x)$的图象上，其中$m＞0,n＞0$，则下列各式不正确的是（ ）
A. $b=\frac{4}{3}$ B. $m+3n=2$ C. $mn\leq\frac{1}{3}$ D. $\frac{1}{m}+\frac{1}{3n}\geq2$

答案： C
解析：$f(0)=b$，$f(b)=-\frac{1}{3}b+b=\frac{2}{3}b=b^{2}$，解得$b=\frac{2}{3}$（$b=0$舍去），A错误；$n=-\frac{1}{3}m+\frac{2}{3}$，即$m+3n=2$，B正确；$mn=m\left(\frac{2-m}{3}\right)\leq\frac{1}{3}$（当$m=1$时取等），C正确；$\frac{1}{m}+\frac{1}{3n}=\frac{1}{2}(m+3n)\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{3n}\right)\geq2$，D正确，故选A（注：原选项设置可能存在错误）。

5.（多选）已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶.甲、乙两车的速度曲线分别为$v_{甲}$和$v_{乙}$（如图）.对于图中给定的$t_{0}$和$t_{1}$，下列判断一定正确的是（ ）
A. 在$t_{0}$时刻后，甲车的速度小于乙车的速度
B. 在$t_{0}$时刻，甲车在乙车前面
C. 在$t_{1}$时刻，甲车的速度大于乙车的速度
D. 在$t_{0}$时刻，两车的位置相同

答案： BC
解析：由速度曲线与时间轴围成的面积表示位移，$t_{0}$时刻前甲车速度大于乙车，位移大，B正确；$t_{1}$时刻甲车速度曲线在乙车上方，C正确。

6. 已知$f(x)$是一次函数，且满足$f(x+1)+2f(x-1)=3x+5$，则$f(x)$的表达式为______.

答案： $f(x)=\frac{3}{5}x+\frac{18}{5}$
解析：设$f(x)=kx+b$，代入得$k(x+1)+b+2[k(x-1)+b]=3x+5$，解得$k=1$，$b=\frac{8}{3}$（注：原答案“$f(x)=\frac{3}{5}x+\frac{18}{5}$”有误，修正为“$f(x)=x+\frac{8}{3}$”）。

7. 若$f(x)$是$\mathbf{R}$上的函数，满足$f(0)=2$，且对任意的实数$x,y$，都有$f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)$，则$f(x)$的表达式为______.

答案： $f(x)=x^{2}+x+2$
解析：令$x=y$，则$f(0)=f(x)-x(2x-x+1)$，即$2=f(x)-x(x+1)$，所以$f(x)=x^{2}+x+2$。