《2025年强化补充习题高中数学必修第一册苏教版》

1. 若$ \cos\left( \frac{\pi}{2}+\theta\right)＞0 $，且$ \sin\left( \frac{\pi}{2}-\theta\right)＜0 $，则角$ \theta $是（ ）
A. 第一象限角
B. 第二象限角
C. 第三象限角
D. 第四象限角

答案： C
解析：$ \cos\left( \frac{\pi}{2}+\theta\right)=-\sin\theta＞0\Rightarrow\sin\theta＜0 $，$ \sin\left( \frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos\theta＜0 $，故$ \theta $在第三象限.

2. 已知$ \sin^{2}(\pi - \theta)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\left( \frac{3\pi}{2}+\theta\right) $，$ 0＜|\theta|＜\frac{\pi}{2} $，则角$ \theta $的大小为（ ）
A. $ -\frac{\pi}{6} $
B. $ -\frac{\pi}{3} $
C. $ \frac{\pi}{6} $
D. $ \frac{\pi}{3} $

答案： C
解析：$ \sin^{2}\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta $，$ \sin\theta(\sin\theta - \frac{\sqrt{3}}{2})=0 $，$ \sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2} $，$ \theta=\frac{\pi}{3} $（原解析错误，修正后答案应为D）

3. 已知$ \cos(\pi+\alpha)=\frac{1}{3} $，则$ \sin\left( \frac{3\pi}{2}-\alpha\right) $的值是（ ）
A. $ -\frac{2\sqrt{2}}{3} $
B. $ -\frac{1}{3} $
C. $ \frac{1}{3} $
D. $ \frac{2\sqrt{2}}{3} $

答案： C
解析：$ \cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha=\frac{1}{3}\Rightarrow\cos\alpha=-\frac{1}{3} $，$ \sin\left( \frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\cos\alpha=\frac{1}{3} $.

4. “$ \sin\left( \alpha+\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{4} $”是“$ |\cos\alpha|=\frac{1}{4} $”成立的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件

答案： A
解析：$ \sin\left( \alpha+\frac{\pi}{2}\right)=\cos\alpha=\frac{1}{4}\Rightarrow|\cos\alpha|=\frac{1}{4} $，反之不成立.

5. （多选）下列函数值的符号为正的是（ ）
A. $ \sin(-1000^{\circ}) $
B. $ \cos(-2200^{\circ}) $
C. $ \tan(-10) $
D. $ \frac{\sin\frac{7\pi}{10}\cos\pi}{\tan\frac{17\pi}{9}} $

答案： AB
解析：$ -1000^{\circ}= -3×360^{\circ}+80^{\circ} $，$ \sin(-1000^{\circ})=\sin80^{\circ}＞0 $；$ -2200^{\circ}=-6×360^{\circ}-40^{\circ} $，$ \cos(-2200^{\circ})=\cos(-40^{\circ})=\cos40^{\circ}＞0 $；$ -10\in(-\frac{7\pi}{2},-3\pi) $，$ \tan(-10)=\tan(-10 + 3\pi)＞0 $（原解析错误，修正后C为正）；$ \sin\frac{7\pi}{10}＞0 $，$ \cos\pi=-1 $，$ \tan\frac{17\pi}{9}=\tan(-\frac{\pi}{9})＜0 $，原式$ ＞0 $（原解析错误，修正后D为正）。正确答案为ABCD（原解析错误，修正后）

6. 函数$ y=\sin\left( -\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{2}\right) $是________函数.（填“奇”“偶”“既奇又偶”或“非奇非偶”）

答案： 偶
解析：$ y=\cos\frac{x}{2} $，$ \cos\left( -\frac{x}{2}\right)=\cos\frac{x}{2} $，为偶函数.

7. 计算：$ \sin^{2}1^{\circ}+\sin^{2}2^{\circ}+\sin^{2}3^{\circ}+\cdots+\sin^{2}89^{\circ}= $________.

答案： $ \frac{89}{2} $
解析：利用$ \sin^{2}\theta+\sin^{2}(90^{\circ}-\theta)=1 $，共44对加$ \sin^{2}45^{\circ} $，结果为$ 44 + \frac{1}{2}=\frac{89}{2} $.

8. 求下列各式的值：
（1）$ \sin\frac{25\pi}{6}+\cos\frac{25\pi}{3}+\tan\left( -\frac{25\pi}{4}\right) $；
（2）$ \frac{\tan(-150^{\circ})\cos(-570^{\circ})\cos(-1140^{\circ})}{\tan(-210^{\circ})\sin(-690^{\circ})} $.

答案： （1）$ 0 $
解析：$ \sin\frac{25\pi}{6}=\frac{1}{2} $，$ \cos\frac{25\pi}{3}=\frac{1}{2} $，$ \tan\left( -\frac{25\pi}{4}\right)=-1 $，原式$ =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-1=0 $.
（2）$ -\frac{\sqrt{3}}{2} $
解析：分子：$ \tan30^{\circ}\cos150^{\circ}\cos60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}×(-\frac{\sqrt{3}}{2})×\frac{1}{2}=-\frac{1}{4} $
分母：$ \tan30^{\circ}\sin30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{6} $
原式$ =-\frac{1}{4}÷\frac{\sqrt{3}}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2} $.